3. 与圆有关的计算一、 选择题1. (2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB ︵，则AB ︵的展直长度为( )A. 3π mB. 6π mC. 9π mD. 12π m第1题 第2题 2. (2018·沈阳)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝22，则AB ︵的长是( ) A. π B. 32π C. 2π D. 12π3. (2018·滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则AC ︵的长为( ) A.25π36 B. 125π36 C. 25π18 D. 5π364. (2018·成都)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是( ) A. π B. 2π C. 3π D. 6π第4题第5题5. (2018·抚顺)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD ＝30°，OA ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A. π3 B. 2π3C. πD. 2π 6. (2018·台湾)如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，以点D 为圆心，BD 长为半径画一弧交AC 于点E .若∠A ＝60°，∠B ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为( ) A. 13π B. 23π C. 49π D. 59π 第6题第7题7. (2018·广安)如图，⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上．若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为( ) A. 23π－2 3 B. 23π－ 3 C. 43π－2 3 D. 43π－ 3 8. (2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( ) A. π2 m 2 B. 32π m 2 C. π m 2 D. 2π m 2 第8题 第9题9. (2018·山西)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为( )A. 4π－4B. 4π－8C. 8π－4D. 8π－810. (2018·广西)如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若AB ＝2，则莱洛三角形的面积(即涂色部分面积)为( ) A. π＋ 3 B. π－ 3 C. 2π－ 3 D. 2π－2 3第10题第11题11. (2018·威海)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )A. 18＋36πB. 24＋18πC. 18＋18πD. 12＋18π 12. (2018·十堰)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝100°，OA ＝12，C 是OB 的中点，CD ⊥OB 交AB ︵于点D ，以OC 为半径的CE ︵交OA 于点E ，则图中涂色部分的面积是( )第12题A. 12π＋18 3B. 12π＋36 3C. 6π＋18 3D. 6π＋36 313. (2018·宁夏)用一个半径为30、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )A. 10B. 20C. 10πD. 20π14. (2018·遂宁)已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π15. (2018·南通)一个圆锥的主视图是边长为4 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为( )A. 16π cm 2B. 12π cm 2C. 8π cm 2D. 4π cm 216. (2018·湖北)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°17. (2018·衢州)如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为( )A. 34B. 35C. 45D. 53第17题第19题18. (2018·遵义)若要用一个底面直径为10、高为12的实心圆柱体制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为( ) A. 60π B. 65π C. 78π D. 120π19. (2018·绵阳)如图，蒙古包可近似地看成由圆锥和圆柱组成．若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m 2，圆柱高为3 m ，圆锥高为2 m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是( ) A. (30＋529)π m 2 B. 40π m 2 C. (30＋521)π m 2 D. 55π m 2 二、 填空题20. (2018·巴中)如图，在矩形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与边BC 相切于点E .若AD ＝4，则图中的阴影部分的面积为________．第20题第22题21. (1) (2018·连云港)一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3 cm ，则扇形的弧长为________cm ；(2) (2018·大连)一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6π cm ，则此扇形的半径为________cm.22. (2018·永州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，1)，以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB ︵的长为________．23. (2018·常州)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝60°，BC ︵的长是4π3，则⊙O 的半径是________．第23题第24题24. (2018·绍兴)如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，点O 为圆心，∠AOB ＝120°，从点A 到点B 只有路AB ︵，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB (AB 是直的)．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了________步．(假设1步为0.5米，结果保留整数，参考数据：3≈1.732，π取3.142)25. (2018·盐城)如图，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为________cm.(结果保留π)第25题26. (2018·哈尔滨)一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm ，则此扇形的面积是________cm 2.27. (2018·新疆)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积是________．第27题第28题28. (2018·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中涂色部分的面积是________．29. (2018·青岛)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以点O 为圆心，OA 长为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是____________．第29题第30题30. (2018·昆明)如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径作扇形BAF ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)31. (2018·广东)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为________．(结果保留π)第31题32. (2018·荆门)如图，在▱ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为________．第32题33. (2018·大庆)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2.将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积为________．第33题 第34题34. (2018·安顺)如图，C 为半圆内一点，点O 为圆心，直径AB 长为2 cm ，∠BOC ＝60°，∠BCO ＝90°.将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为________cm 2.(结果保留π) 35. (2018·乐山)如图，△OAC 的顶点O 在坐标原点，OA 边在x 轴上，OA ＝2，AC ＝1，把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′，使得点O ′的坐标是(1，3)，则在旋转过程中线段OC 扫过部分(阴影部分)的面积为________．第35题第37题36. (1) (2018·宿迁)已知圆锥的底面半径为3 cm ，高为4 cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2；(2) (2018·扬州)用半径为10 cm 、圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________cm ；(3) (2018·赤峰)将半径为10 cm 的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是________cm ；(4) (2018·齐齐哈尔)已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为________；(5) (2018·聊城)用一块圆心角为216°的扇形铁皮做一个高为40 cm 的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这块扇形铁皮的半径是________cm.37. (2018·郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为________cm.(结果保留π)38. (2018·荆州)如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位：cm)，则钢球的半径为________cm.(圆锥的壁厚忽略不计)第38题 第39题39. (2018·苏州)如图，8×8的正方形网格纸上有扇形AOB 和扇形COD ，点O ，A ，B ，C ，D 均在格点上．若用扇形OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r 1；若用扇形OCD 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r 2，则r 1r 2的值为________．40. (2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm ，底面周长为32 cm ，在杯内壁离杯底5 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为________cm.(杯壁厚度不计)第40题 第41题41. (导学号78816066)(2018·烟台)如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 中点，以点O 为圆心，OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2的值为________． 三、 解答题42. (2018·济宁)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图)面积的方法，现有以下工具；① 卷尺；② 直棒EF ；③ T 型尺(CD 所在的直线垂直平分线段AB )． (1) 在图①中，请你画出用T 型尺找大圆圆心的示意图．(保留画图痕迹，不写画法)(2) 如图②，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切(直棒宽度不计)，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M ，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN ＝10 m ，请你求出这个环形花坛的面积．第42题43. (2018·湖州)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，OC 交AD 于点E ，连接BC . (1) 求证：AE ＝ED ；(2) 若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC ︵的长．第43题44. (2018·衡阳)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F . (1) 求证：EF 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝4，CE ＝2，求BD ︵的长度．(结果保留π)第44题45. (2018·攀枝花)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，连接DE ，过点D 作DF ⊥AC 于点F .(1) 若⊙O 的半径为3，∠CDF ＝15°，求涂色部分的面积； (2) 求证：DF 是⊙O 的切线； (3) 求证：∠EDF ＝∠DAC .第45题46. (2018·达州)如图，以等边三角形ABC 的边BC 为直径作⊙O ，分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC 交AC 于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若等边三角形ABC 的边长为8，求由DE ︵，DF ，EF 围成的涂色部分面积．第46题47. (2018·扬州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，OE ⊥AB 于点E ，以点O 为圆心，OE 长为半径作半圆，交AO 于点F .(1) 求证：AC 是半圆O 的切线；(2) 若F 是OA 的中点，OE ＝3，求图中涂色部分的面积； (3) 在(2)的条件下，P 是BC 边上的动点，当PE ＋PF 取最小值时，请求出BP 的长．第47题弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC，垂足为F.(1) 如图①，如果AC＝BD，求弦AC的长；(2) 如图②，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；(3) 连接BC，CD，DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正(n＋4)边形的一边，求△ACD的面积．第48题3.与圆有关的计算一、1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.C 13.A 14.C 15.C 16.B 17.C 18.B 19.A二、20.8－2π 21. (1) 2π (2) 9 22.2π423.2 24.1525.8π3 26.6π 27.4π3 28.8－2π 29.723－43π 30.332－π3 31.π 32.4π3－3 33.2π3 34.14π 35.12π 36. (1) 15π (2) 103 (3) 53 (4) 30 (5) 5037.12π 38.5 39.23 40.20 41.32三、42. (1) 如图①，点O 即为大圆的圆心(T 型尺宽度未画出)(2) 如图②，设直线EF 与小圆相切于点C .连接OM ，OC .∵EF 是小圆的切线，∴OC ⊥MN .∴CM ＝12MN ＝5m ，∠OCM ＝90°.∴在Rt △OMC中，OM 2－OC 2＝CM 2.∴S 环形花坛＝π·OM 2－π·OC 2＝π·(OM 2－OC 2)＝π·CM 2＝25πm第42题43. (1) ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD .∵OC 过圆心O ，∴AE ＝ED (2) ∵OC 过圆心O ，OC ⊥AD ，∴AC ︵＝CD ︵.∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°.∴∠AOC ＝2∠ABC＝2×36°＝72°.∵AB ＝10，∴OA ＝5.∴AC ︵的长为72π×5180＝2π44. (1) 如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO.∵AD 平分∠EAF ，∴∠DAE ＝∠DAO.∴∠DAE ＝∠ADO.∴OD ∥AE.∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF.∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线 (2) 如图，作OG ⊥AE 于点G ，则AG ＝CG ＝12AC ＝2，∠OGE ＝∠E ＝∠ODE ＝90°.∴四边形GEDO 是矩形．∴OA ＝OB ＝OD ＝GE ＝CG ＋CE ＝2＋2＝4，∠DOG ＝90°.在Rt △AGO 中，sin ∠AOG ＝AG OA ＝24＝12，∴∠AOG ＝30°.∵∠AOB ＝180°，∴∠BOD ＝∠AOB －∠AOG －∠DOG ＝60°.∴BD︵的长度为60π×4180＝4π3第44题45. (1) 如图①，连接OE ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，则AE ＝2AM.∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°.∵∠FDC ＝15°，∴在△DFC 中，∠C ＝180°－90°－15°＝75°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝75°.∴在△ABC中，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝30°.∴在Rt △AMO 中，OM ＝12OA ＝12×3＝32，AM ＝OA ·cos30°＝32 3.∴AE ＝2AM ＝3 3.∵OA ＝OE ，∴∠BAC ＝∠AEO ＝30°.∴在△AOE 中，∠AOE ＝180°－30°－30°＝120°.∴涂色部分的面积＝S 扇形AOE －S △AOE ＝120π×32360－12×33×32＝3π－934(2) 如图①，连接OD .∵AB ＝AC ，OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠C ，∠ABC ＝∠ODB .∴∠ODB ＝∠C .∴AC ∥OD .∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线 (3) 如图②，连接AD ，BE .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE ⊥AC .∵DF ⊥AC ，∴BE ∥DF .∴∠FDC ＝∠EBC .∵DE ︵＝DE ︵，∴∠EBC ＝∠DAC .∴∠FDC ＝∠DAC .∵A ，B ，D ，E 四点共圆，∴∠AED ＋∠ABC ＝180°.∵∠AED＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝∠ABC .∵∠ABC ＝∠C ，∴∠DEC ＝∠C .∴DE ＝DC .∵DF ⊥AC ，∴∠EDF ＝∠FDC .∴∠EDF ＝∠DAC第45题46. (1) 如图，连接CD ，OD.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CDB ＝90°，即CD ⊥AB .又∵△ABC 是等边三角形，∴CB ＝CA .∴AD ＝BD .∵BO ＝CO ，∴DO 是△ABC 的中位线．∴OD ∥AC .∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线．另解：如图，连接CD ，OD ，先求出∠ODB ＝60°，∠ODC ＝30°，再说明DF ⊥OD (2) 如图，连接OE ，作OG ⊥AC 于点G .则∠OGF ＝∠DFG ＝∠ODF ＝90°.∴四边形OGFD是矩形．∴FG ＝OD ＝12BC ＝4.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝∠B＝60°.∵OC ＝OE ＝OD ＝OB ，∴△OBD 和△OCE 均为等边三角形．∴∠BOD ＝∠COE ＝60°，CE ＝OC ＝4.∴EG ＝12CE ＝2，DF ＝OG＝OC ·sin60°＝23，∠DOE ＝60°.∴EF ＝FG －EG ＝2.∴涂色部分面积＝S 梯形EFDO －S 扇形DOE ＝12×(2＋4)×23－60π×42360＝63－8π3第46题 第47题47. (1) 如图，作OH ⊥AC 于点H.∵AB ＝AC ，AO ⊥BC ，∴AO 平分∠BAC.∵OE ⊥AB ，OH ⊥AC ，∴OE ＝OH.∵OE 是半圆O 的半径，∴AC 是半圆O 的切线 (2) ∵F 是AO 的中点，∴AO ＝2OF.∵OE ＝OF ＝3，∴AO ＝2OE ＝6.∵OE ⊥AB ，∴在Rt △AEO 中，cos ∠AOE ＝OEAO＝12.∴∠AOE ＝60°，AE ＝AO 2－OE 2＝3 3.∴题图中涂色部分的面积＝S △AOE －S 扇形EOF ＝12×3×33－60π×32360＝93－3π2(3) 如图，作点F关于BC 的对称点F ′，连接EF ′交BC 于点P .根据对称性，得OF ＝OF ′，PF ＝PF ′，∴PE ＋PF ＝PE ＋PF ′＝EF ′，此时PE ＋PF 取最小值．∵OF ′＝OF ＝OE ＝3，∴∠F ′＝∠OEF ′.∵∠AOE ＝∠F ′＋∠OEF ′＝60°，∴∠F ′＝30°.∵OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°，∴∠EAO ＝30°.在Rt △POF ′中，OP ＝OF ′·tan30°＝3×33＝3；在Rt △AOB 中，OB ＝OA ·tan30°＝6×33＝23，∴BP ＝OB －OP ＝ 3.因此当PE ＋PF 取最小值时，BP 的长为 348. (1) 连接OC.∵OD ⊥AC ，OD 过圆心O ，∴AC ＝2AF ，AD ︵＝CD ︵，∠AFO ＝90°.又∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，即AD ︵＋CD ︵＝CD ︵＋BC ︵.∴AD ︵＝BC ︵.∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵.∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ＝60°.∵AB ＝2，∴AO＝BO ＝1.∴在Rt △AFO 中，AF ＝AO ·sin ∠AOF ＝1×32＝32.∴AC ＝2AF ＝3 (2) 如图①，连接BC .∵AB 为半圆O 的直径，OD ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠C ＝90°.∴OD ∥BC .∴∠D ＝∠EBC .∵E 为弦BD 的中点，∴DE ＝BE .又∵∠DEF ＝∠BEC ，∴△DEF ≌△BEC (ASA)．∴DF ＝BC ，EF ＝EC .又∵AO ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF 是△ABC 的中位线．设OF ＝t ，则BC ＝DF ＝2t .∵DF ＝DO －OF ＝1－t ，∴1－t ＝2t ，解得t ＝13.∴DF ＝BC ＝23.∴AC ＝AB 2－BC 2＝22－（23）2＝423.∴EF ＝12FC ＝14AC＝23.在Rt △DFE 中，cot D ＝DF EF ＝23÷23＝ 2.∵OB ＝OD ，∴∠ABD ＝∠D .∴cot ∠ABD ＝2 (3) 如图②，∵BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正(n ＋4)边形的一边，∴∠BOC ＝(360n)°，∠AOD＝∠COD ＝(360n ＋4)°.∴360n ＋2×360n ＋4＝180，解得n 1＝－2(舍去)，n 2＝4.经检验，n ＝4是原分式方程的解．∴∠BOC ＝90°＝∠AOC ，∠AOD ＝∠COD ＝45°.∴在Rt △AOC 中，AC ＝OA 2＋OC 2＝ 2.∵∠AFO ＝90°，∴OF ＝AO ·cos45°＝22.∴DF ＝OD －OF ＝1－22.∴S △ACD ＝12AC ·DF ＝12×2×(1－22)＝2－12第48题。