浙江工业大学数学分析(二)期末试卷(A)09-06 班级 学号 姓名 成绩
一、填空题（21%）
1、封闭曲线θ3cos =r ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66
πθπ所围的面积是 。

2、反常积分⎰
∞++02312cos dx x x 是条件收敛还是绝对收敛？答： 。

3、级数ln 1
12n n ∞=∑是收敛还是发散？答： 。

4、幂级数1
(1)2n
n x n ∞=-∑的收敛域为 。

5、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，在[)ππ,-上22)(x x f -=π，则其Fourier
级数的和函数)(x S 在π27处的值72S π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。

6、设()22y x f z -=，其中f 可导，则=∂∂+∂∂y
z x x z y 。

7、函数 xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(处的梯度为________________；在点)1,1,1(处沿
方向}2,1,0{=l 的方向导数为________________。

二、选择题（16％）
1、若),(y x f z =于点()00,y x 处可微，则下列结论错误的是 （ ）
（A ）),(y x f 于点()00,y x 处连续；
(B) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处连续；
(C ) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处存在；
(D) 曲面),(y x f z =在()),(,,0000y x f y x 处有切平面。

2、二重极限与累次极限之间的关系正确的是 （ ）
(A)若二重极限存在,则两个累次极限均存在且相等；
(B)若二重极限存在,且其中一个累次极限存在,则另一累次极限存在；
(C)若累次极限均存在但不相等,则重极限必不存在;
(D)若二重极限不存在,则两个累次极限中至少有一个不存在.
3、以下命题中正确的是： （ ）
(A) 若1()f x dx +∞
⎰收敛，则必有：lim ()0x f x →+∞
=； (B) 若级数∑∞=1
n n u 收敛，且1lim =∞→n n n u v ，则级数∑∞=1n n v 收敛。

(C) 若级数∑∞=1n n u ,∑∞
=1n n v 发散，则级数)(1n n n v u +∑∞
=发散。

(D)若正项级数1n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞
=∑收敛。

4、若级数∑∞=14n n
n a 条件收敛,则幂级数∑∞
=1n n n x a ： （ ） (A) 收敛半径4=R ； （B ）收敛半径4
1=
R ； （C ）在4-=x 处也收敛； （D ）在4-=x 处发散.
三、试解以下各题（24%） 1、 设(,)x z f xy y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求z y ∂∂，x
y z ∂∂∂2。

2、判断函数项级数∑∞
=+-122cos )1(n n
nx x n 在) ,0(∞+内是否一致收敛.（需说明理由）
3、求22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值.
4、判别级数()∑∞=---111sin 121n n n n 的敛散性，如果收敛,需判断是绝对收敛还是条件收敛.
四、（8%）叙述以π2为周期且在],[ππ-上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。

五、（8％）讨论反常积分21[ln(1)]p
x x +∞+⎰
的敛散性.
六、（8%）求幂级数() +⋅-++⋅+⋅--n
n n n x x x x 313332313322的收敛半径、收敛域以及和函数。

七、（8%）证明：函数()t a b x e t
a u 2
421--=π（a,b 为常数）满足热传导方程222x u a t u ∂∂=∂∂。

八、（7％）设0>n a ，试用级数的知识证明： 12lim 0(1)(1)(1)n n n a a a a →∞=+++ 。