n →∞ n →∞ n →∞
8.2.
------(5 分)
-------(7 分) ----------(8 分) ------(4 分)
∴ lim n a n + bn = b (由迫敛性) 2. ( u )′ = 1 2 u ,
(
′ x2 +1 = 1
)
x x +1
2
∴ f ′( x) =
x 1 + 2 x +1 2 x + x2 + 1 ln f ( x ) = cos x ln sin x
1 ln x
------(8 分)
cos x 7. Q lim+ ln x→0 sin x = lim+
x →0
cos x ln sin x ∞ 型 = lim+ x →0 ln x ∞
-------(4 分)
−siBiblioteka x cos x − −x cos x sin x = lim = −1 + 1 x →0 sin x cos x x lim+ e
4.取对数,得 ln f ( x ) =
--------(2 分)
两边对 x 求导,得
1 −2
1 1 1 f ′( x ) = − 2 ln x + 2 f ( x) x x --------(8 分)
----------(6 分)
所以, f ′( x) = x x (1 − ln x )
5. 因为 f(x)在 x=0 处可导,故在 x=0 处连续,所以 a = −9 . 又 f +' ( x) = lim−
数学分析 1 测试题 1 参考答案
一、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 3 ;0 2 2. 1 . 2
n →∞
3. 0
1, | a |> 1 . 4. 0, |a |< 1
n →∞
5. 对∀{xn } ⊂ U 0 ( x0 , δ )且 lim xn = x0 , 都有 lim f ( xn )存在且相等. π , (n ∈ Z ) . 8.1. 2 二、计算题（6 分，共 36 分） n +1 n +1 1. Q n n ⋅ < an < n 2 n ⋅ ------(5 分) n n n +1 n +1 而 lim n n ⋅ = 1, lim n 2n ⋅ =1 -------(7 分) n →∞ n →∞ n n 6. π ; 二. 7. nπ + ∴ lim an = 1 (由迫敛性)
n →∞ n →∞
------(3 分) 取 xn = 1 , 则 lim xn = 0 , 但 f ( xn ) = cos nπ = (−1)n 2 n →∞ (nπ ) ------(6 分)
因为 lim f ( xn ) 不存在, 所以 lim cos
n →∞ x→0
1 不存在(由归结原理) x
x x→0 x→0
7. Q lim+ ln ( sin x ) = lim+ x ln sin x = lim+
x →0
-------(4 分) ------(7 分)
ln sin x ∞ −x lim ⋅ x cos x = 0 =x + 1 → 0 sin x ∞ x 原式 = e 0 = 1 ------(8 分)
cos x ln x ln sin x
1
------(7 分)
所以,
x →0
= e −1
------(8 分)
三、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1. 先限制 | x − 0 |< 1且x ≠ 0, 则 -------(2 分) ------(6 分)
1 + x −1 1 1 1 − = ⋅ | x − 0 |< | x − 0 | 2 x 2 2( 1 + x + 1) 2 于是,对 ∀ε > 0, ∃δ = min{1, 2ε }, 当 | x − 0 |< δ , 有 1 + x −1 1 1 − < | x − 0 |< ε x 2 2 故 lim
3. 对∀ε > 0, ∃δ = δ (ε ) > 0, 使当0 < x − x0 < δ 时, 有 | f ( x) − A |< ε . 4. 2 5. 2 x 2 . 6.2. 7. nπ , n ∈ Z 1 8. (a + b) 2
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分） 1.由 lim n 2 = 1 及迫敛性知:
4 4
t=
π 4
= −2 2
--------(3 分)
且 x0 = sin t |
π t= 4
=
2 , y = cos 2t | π = 0 t= 2 4
----------(4 分)
2 所以,切线方程为 y = −2 2 x − , 即y + 2 x − 2 = 0 2 法线方程为 y = 1 2 x − ,即4y- 2 x + 1 = 0 2 2 2
n →∞
----------(8 分) ------(8 分)
2. f ′( x) = arctg x +
x 1 x ⋅ + 1+ x 2 x 1 − x2
3. 取对数 ln f ( x) = x ln(ln x) 两边对 x 求导, 得
-------------(2)
1 1 ⋅ f ′( x) = ( x )′ ln(ln x) + x(ln(ln x )′ = ln(ln x) + --(2 分) f ( x) ln x ------------(8 分)
所以
1 f ′( x) = (ln x) x ln(ln x ) + ln x
(注:也可将 f(x)改写成 f ( x ) = e x ln(ln x ) 再求导.) 4. Q dy (cos 2t )′ −2sin 2t = = dx t = π (sin t )′ t =π cos t
x→0
f ( x) − f (0) 1 = lim xα −1 sin 存在 x→0 x−0 x -------(8 分)
---(7 分)
故当 α − 1 > 0即α > 1时, f ( x )在x = 0处可导 . 6. lim
x→0
x − sin x 0 1 − cos x 0 1 sin x 1 = 型 = lim ⋅ 型 = lim 3 2 x 6 0 x → 0 3 x 0 x →0 6 x
n →∞
当 0 < x ≤ 1 时, 1 ≤ n 1 + x n ≤ n 2 → 1(n → ∞) , 这时 lim n 1 + x n = 1
n →∞ n →∞
---(4 分)
当 x > 1 时, x = n x n ≤ n 1 + x n ≤ n 2 x → x(n → ∞) ,这时 lim n 1 + x n = x ---(8 分) 2. 归结原则: 对∀{xn } ⊂ U 0 ( x0 , δ )且 lim xn = x0 , 都有 lim f ( xn )存在且相等.
n →∞
------(8 分)
′ , xn ′′ → 0, 但 lim f ( xn ′ ) ≠ lim f ( xn ′′) ) (注: 也可取 xn
n→∞
3. 间断点为 x = ±1
x →1 x →1
-------------(2)
因为 lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = −1 , 所以 x=1 为 f(x) 的跳跃间断点; ---(5 分) + −
--------(6 分)
---------(8 分)
5. 要使 f(x)在 x=0 处连续, 即要 lim f ( x) = lim xα sin
x→0 x →0
1 = 0 = f (0) --(3 分) x -------(4 分)
故当 α > 0时， f ( x)在x = 0处连续. 要使 f(x)在 x=0 可导, 即要使 lim
π π 设 f(x)=1+sinx-2x, 则 f(0)=1>0, f = 2 − π < 0 , 知 x ∈ 0, , 使得 2 2 f(x)=0, 即 1+sinx=2x 有根. --------(7 分)
π 下证唯一性.若方程存在两个根 x1 , x2 ∈ 0, , 且x1 < x2 ,则有 2 sin x2 − sin x1 = 2( x2 − x1 ) 这与前面已证 sin x2 − sin x1 < ( x2 − x1 ) 相矛盾,故 x1 = x2 ----(10 分)
--------(6 分)
显然
------(7 分)
且
1 1 − 1 2 1 1 1 2 2 <1 0 < an < + 2 + L + 2 = 1 2 2 2 −1 2 ----(10 分)
--------(9 分)
故由单调有界定理知收敛.
数学分析 1 测试题 3 参考答案
一、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 1, −1 . 2. 0.
----------(6 分) -----------(8 分) ---(8 分)
e x ( x − 2) + x + 2 0 xe x 1 ( x − 1)e x + 1 0 = lim = lim = 型 型 x→0 x3 3x 2 0 x→0 0 x→0 6 x 6