v0
A
由cos 0大小和sin0的符号决定0
[例1]
m
已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞 求： T, A, 0 解：振动系统为（2 m, k)
h m
k


k ,
2m
T 2 2m
k
m
h
m x0
ov0
t0
k
x
以平衡位置为坐标原点，向下为正。 确定初始条件：
以物块和平板共同运动时刻为t=0
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1）
amax A 2
amax 20s1
A
T 2π 0.314s

（2）
Ek ,m a x

1 2
mvm2 ax

1 2
m 2 A2

2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J

arctg( v0 ) x0

arc tg
kh
mg
[例2] 由振动曲线决定初相
（1）
cos 0

x0 A
0
x A v0
v0 A sin0 0 x0
t0
t
sin0 0
0

arccos
x0 A
为四象限角

（2）与相位为零的余弦函数比较
0

t0 T
2

t0
三. 旋转矢量法
思考：写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周
匀速运动的参数方程
ym
y
t 0
o
t0 A x
x
x Acos( t 0 ) y Asin( t 0 )
x、y 方向分运动均为简谐振动
建立旋转矢量
A
与谐振动的
对应关系
y
t 0
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当

t

0

5
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
x Acos( t 0 ); v A sin( t 0 )
(2) (t 0 ) 每变化 2 的整数倍，x、v重复
A
x02

v02
2

x
2

v2
2
3. 相位 t 0 , 初相0
相位是描述振动状态的物理量
(1) ( t 0 )与状态参量x，v有一一对应的关系
x Acos( t 0 ); v A sin( t 0 )
例：
当
t
0


3
时：
x A, 2
v 3 A
dt 曲线族称为相图，画出简谐振动的相图并理解其意义。
d2 x 2 x 对t积分：
dt 2

dx dt
2
2 x2

c1
(
dx dt
)2

x2
1
c1
C1
2
为椭圆曲线
相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。
dx dt
o
x
x
T/2
o
v dx tg dt
均随时间周期性变化
由 x Acos( t 0 ) 得
v

dx dt

Asin(t
0
)
a

d2 x dt 2

A 2cos( t
0
)
av x
T4
3T 4
T2
t
o
0 0
1
T
一般情况： x Acos( t 0 )
x,v,a
t
T
思考: 由状态参量 x, v d x 为坐标变量作出的函数
8
。
§9.4 简谐振动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2

A
x x1 x2
x Acos(t ) 0
x2 2 1

x1A1 x x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
, A,0 : 简谐振动的特征量
积分常数
若某物理量满足*，则其运动方程可用时间 t 的正余
弦函数形式描述，并且 是决定于系统自身的常量，
则该物理量的变化过程就是简谐振动。(I,U,Q,E,B,T...)
振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化
3.
d x d2 x x, d t , d t2
o
x
旋转矢量 A 与谐振动的对应关系
简谐振动
振幅 角频率 初相 振动周期 相位 位移 速度 加速度
0
t 0
x Acos( t 0 )
v Asin( t 0 ) a A 2cos( t 0 )
旋转矢量法优点：
直观地表达谐振动的各特征量 便于解题,特别是确定初相 便于振动合成
Ek

1 2
mv2

1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep

1 2
k x2

1 2
k A2
cos2 (t
)
E

Ep

Ek

1 2
kA2

1 2
m 2 A2

1 2
m
2 m
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
x x=Acos ωt
0
t
T/4 3T/4
E
T/2
T
1 kA2
2

o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
x1
x2


A1
A2
cost
A
Ae-βt
t
2
2
o

T

02 2 T0
-Ae-βt
阻尼越大，振幅衰减越快，周期越长。
(2) 过阻尼状态（阻尼较大）： β > ω0
x C e C e ( 2 02 )t 1
( 2 02 )t 2
振动不会发生，物体缓慢回到平衡位置。
Tt
思考：与振动过程和振动曲线如何对应？
振动曲线（x－t） 相图（v－x）
0－T/4 T/4 － T/2 T/2 －3 T/4 3T/4 － T
第4象限：x>0，v<0 第3象限：x<0，v<0 第2象限：x<0，v>0 第1象限：x>0，v>0
振动过程
正方向最大位移－平衡位置 平衡位置－负方向最大位移 负方向最大位移－平衡位置 平衡位置－正方向最大位移
由
Ep

1 2
k x2

1 2
m 2 x2
x2

2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
§9.2 阻尼振动
振动系统在阻尼力作用下，振幅（能量）不断减小的 振动称为阻尼振动。
阻尼的两种形式：摩擦阻尼、辐射阻尼。
振动物体速度不太大时，阻尼力与速度成正比。
f dx
二、特征量
1. 角频率 k m
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关（固有角频率）
由谐振os[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 )
T 2 周期
(t T ) 0 t 0 2

2
x0 v0
x0 A v0
x0 v0
3 2
x0 v0
0
由x.v 的符号确定 A 所在的象限
小结：简谐振动的三种描述
运动方程和振动曲线（正、余弦函数） 相图（椭圆曲线） 旋转矢量
周期性特征
四. 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t ) v A sin(t )
mg
x0
有：
k
0
m 2gh 2m v0
gh
v0
0 2
得： A
x02

v02
2

m2 g2 m gh m g
kh
k2

k
k
1 mg
m
h
m
x0
ov0
t0
k
x
又：
cos 0
x0 A
0
v0 A sin0 0
sin0 0
0 为三象限角

0
Ep
Ek
0
t
(1) Ek、Ep周期性变化的频率为简谐振动的两倍。
(2) 总机械能E=Ek+Ep=常量。