弯曲应力习题课
A
1 2 3 1 2a 3
q
mB
C
2
B
YB
a
(a)
a
解:现用设正法 1)求1-1截面上Q1、M 1 用截面1 1截取梁左段为研究对象。如图(b)所示,设 截面上作用有正向Q1、M 1,O为截面形心。由静力平衡条件
Y qa Q
1
0 q a
答案: B
A
0.89kN
1kN m
C
D
E F
2kN
B
1.11kN
1.5m
1.5m
1.5m
3. 梁受力如图,剪力图和 弯距图正确的是( )。
P
P P
a
Pa
2a
a
(A)
P
Q Q Q
Pa Pa Pa Pa
M M M M
(B)
P
P
(C)
P
P P
Pa Pa
P
P
(D)
解:在熟练掌握作Q、M图方法的基础上,有时可将多个 载荷共同作用下的梁,按载荷分成几个简单基本的梁, 分别作Q、M图后加以叠加而得出总Q、M图。现将图示 梁(a)分成梁(b)与梁(c)。 梁(b)的外力是对称的,画出的Q图是反对称的,M图 是对称的。
(a)
m Pa
2P
A
C
B
a
2P
a
P
B
YB P
1 q0 l 6
C
l/ 3
1 q0 l 3
Q
b
M图(图(c))M A 0,M B 0,M x 为三曲线, 由dQ/dx Q x 可知,M x 的斜率开始为正值,越来越
趋 于0 正
小,经0(C面)变成负的,绝对值越来越大,它使M曲 线形成“上凸”(在规定M 坐标下)的三次曲线。在C 面(x l / 3)弯距取极值 1 l 1 q0 l 1 2 M 极 q0l q l 0 6 3 6 l 3 9 3 1 1 ) Q max = q0l,(x l); M max q0l 2 (x l / 3)。 6 9 3
3 3
M3 Q3
4)取右段平衡求Q3、M 3 为此应先由整梁平衡(见图(a))求出固定端约束力 1 YB 2qa,mB qa 2。取右段,设正后(注意此时Q3、 2 q M 3的正值方向)如图(e) Q3 a Y Q q 2qa 0 3 M3 B 2 a/2 Y B Q3 qa (e) a a a 1 mO ( F ) M 3 q 2qa qa 2 0 2 4 2 2 3 M 3 qa 2 8 结果与取左段相同,符合同一截面上两侧的内力为 作用反作用关系。因此4)也可作为步骤3)所得结果 正确性的校核。
4.平面弯曲是指梁的横截面变形前是平面, 受力变弯后仍为平面的弯曲。 ( )
答案:
变形后轴线所在平面与外力所在纵向平面相
重合的弯曲
四、计算题
1.梁受力如图(a)所示,求1-1,2-2,3-3面上的剪力 与弯距。其中1-1面与2-2面分别在紧靠外力偶m作用面C 的左则与右则。
qa
m 2qa2
Q
P
M
x
Pa
2 Pa
3Pa
x
(b) (c)
3.简支梁受线性分布载荷作用如图(a)所示,试作 Q、M图,并写出 Q max 、 M
max
。
q x
1 R q0l 6
q0
A
x
YA 1 q0l 6
B
x
l /3
l
1 YB q0l 3
a
解:1)求支承约束力 1 此时可视为分布载荷的合力R= q0 (三角形分布载荷为距 l 2 2 形分布之半)作用与x l处,设A、B处有约束力YA、YB。 3 2 1 m A F R l YB l 0, YB q0l 3 3 1 1 m B F R l YA l 0, YB q0l 3 6 1 1 1 校核 Y q0l q0l q0l 0 3 6 2
(A)(a x 2a),(a x 2a) (C)(a x 2a),(a x 2a)
A
(B)(a x 2a),(a x 2a) (D)(a x 2a),(a x 2a)
m
C
B
2m
D
x
a
a
YB = 3m 2a
a
答案: C
YA =
3m 2a
2.梁受力如图所示,指kN定截面C、D、E、F上正确的 Q、M 值应为( )。 (A)QC 0.89kN,M C 0.89 1.5 1 2.335kN m (B)QD 0.89kN,M D 0.89 1.5 1 0.335kN m (C)QE 1.11kN,M E 1.111.5 1.665kN m (D)QF 1.11kN,M F 1.111.5 1.665kN m
2)求2-2截面上Q2、M 2 取截面,设正后研究对象受力如图(c)
Y qa Q
Q2 qa M 2 qa 2
qa
2qa 2
2
0
A
a
(c )
2 O 2
M2
mO ( F ) M 2 qa a 2qa 2 0
2h
h 2
答案: A
h 2
h
h 2
h h
I I I Z Z1 Z 2
I Z2 I ZC a2 A
2b
(a)
h
2b
(b)
2b
(c)
三、判断题
1.在集中力作用处,梁的剪力图要发生突变,弯距图的斜率 要发生突变。
答案:
2.在Q=0处,弯距必取 M max 。
( )
( )
答案: 悬臂梁受均布荷载 3.钢梁与铝合金梁具有相同的横截面形状和尺寸,在相同 的弯距作用下将产生同样大在最大正应力。 ( ) 答案:
3
小
负值, 因为剪 力向下
c
C
1 9 3
M
q0l 2
4.用叠加法求图(a)所示梁的Q、M图, 并写出 Q max 、 M
max
。
2P
m Pa
A
C
B
a
(a)
a
梁(c)在A端作用有力偶m。切忌将AB整梁的剪力看成 零,弯距为M=m。这是忽略了约束力(步骤上忘了求约 P P 束力)的错误结果,求约束力YA (向下)。 YB 2 2 (向上)后的结果如图示。
)给定分段面(控制面)上Q、M 值并连线作图 根据AC、CB段Q x P,知Q图为一水平线(图(b))。 AC段M x Px,M A M O 0,M C左 M 2a 2 Pa 弯距图为一斜直线(斜率为 P)。CB段 x PxPa, M C右 M 2a Pa,M B左 3Pa,弯距图为一斜直线(斜 率也为-P),得M图如图(c)。
Q
Pa
答案: D
4.纯弯梁的横截面形状、尺寸如图(a)、(b)、(c)所示。 h 它们都是在2b 2h的矩形内对称于y轴挖空一个面积为b 的 2 小矩形。在相同弯距作用下,它们最大弯曲正应力大小的排 序是( )。 (A)(a)>(b)>(c) (C)(a)<(b)<(c) y b (B)(b)>(a)>(c) (D)(b)<(a)<(c) y y b b
A
Q1 qa mO ( F ) M 1 qa a 0 M 1 qa 2
弯矩为负值
Q1
a
(b )
O1
M1
Q1为负值,说明它实际方向向上。同时,按剪力 +、-号规定也应为负值,说明它实际转向为顺时针, 按弯距+、-号规定也应为负值。
a
作Q、M图 1 1 Q图(图(b)) Q A右 q0l,Q B左 q0l,Q x 为二次 3 6 曲线。它区别于直线,应取底三个控制面。可由Q x 0 得x l / ( 3 QC =0),由dQ/dx q x (), 知Q x 的斜率由A 面的0开始一直取负值至B面的 q0,Q图为“上凸”的二 次曲线。
b
4.图示横截面为等腰梯形的纯弯梁受弯距M 作用,已知 B 3b、h 2b则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力之比 ( max)( )。 t / max) c为(
5 答案: 7
M
b h
B
二、选择题
1.图示梁CB段的剪力、弯距方程为Q (x)=-3m / 2a, 3mx M (x)= m,其相应的适用区间分别为( )。 2a
3 3
mB
2.列方程作图(a)所示梁的剪力图与弯距图
P
m Pa
mB 3Pa
A x
x
2a
C
B
2a
x
YB P
(a)
P
m Pa
mB 3Pa
A
x
C
B
2a
x
YB P
x
2a
(a)
解:如图(a)建x轴,列方程作Q、M图的步骤如下: 1)求支承约束力 用整梁平衡条件求得YB P、mB 3Pa(图( a))。 2)列Q x 、M x 方程 AC段Q x P (0<x 2a) M x Px (0 x<2a) CB段Q x P (2a x<4a) M x PxPa (2a<x<4a)
Q2
对Q2的说明同1 );M 2为正值,说明它实际转向与所设 相同,即逆时针,按弯距+、-号规定也应为正值。