九年级上册第一章 二次函数一、二次函数概念:１．二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域是全体实数． 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2. ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质:上加下减。
３.y a x h =-的性质：左加右减。
4． ()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移 1． 平移步骤:方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴,顶点，与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质１. 当0a >时,抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -． ２. 当0a <时,抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac ba-.七、二次函数解析式的表示方法１. 一般式:2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数,0a ≠）； 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ，k 为常数，0a ≠)；3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上，a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大.总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来,在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 3． 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况:1． 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式; ３. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4． 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程：１. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点．1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数，都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．２. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0,)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标．⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数;下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:练习1、函数aaxy-=2与xay=在同一直角坐标系中的图象可能是( )Ａ B Ｃ D2、反比例函数y = 错误!与一次函数ｙ＝ k (x＋1)在同一坐标系中的象只可能是（）３、某网店以每件６0元的价格购进一批商品,若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件．（1)请写出每月销售该商品的利润ｙ元与单价上涨x元的函数关系式；（2）单价定为多少元时,每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少？∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第二章简单事件的概率一、可能性１、必然事件:有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件.2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件.３、确定事件:必然事件和不可能事件都是确定的。
4、不确定事件：有很多事件我们无法肯定它会不会发生,这些事件称为不确定事件。
5、一般来说,不确定事件发生的可能性是有大小的。
例:下列说法错误的是（）.A．同时抛两枚普通正方体骰子,点数都是4的概率为B．不可能事件发生机会为0C．买一张彩票会中奖是可能事件D．一件事发生机会为０.１%,这件事就有可能发生二、简单事件的概率1、概率的意义:表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。
2、必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件）=1，不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件）=0，如果Ａ为不确定事件,那么0<P(Ａ)＜1。
3、一步试验事件发生的概率的计算公式：（n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数）。
两步试验事件发生的概率的计算有两种方法(列表法和画树状图）例：如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②,③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光,问任意闭合电路上其中的两个开关,小灯泡发光的概率为____＿＿.三、用频率估计概率：1．对于任何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。