于点 E ，交 B1C 于点 F .
（Ⅰ）求证： A1C 平面 EBD ；
（Ⅱ）求点 A 到平面 A1B1C 的距离；
（Ⅲ）求 ED 与平面 A1B1C 所成角的正弦值 .
A1
D1
B1
C1
E
F
A
D
B
C
解：（Ⅰ）以点 A 为原点，分别以直线 AB 、 AD 和 AA1 为 x 轴、 y 轴和 z 轴，建立如图所示坐标系
3，3，0
A1 C·BE 0，A1C·BD 0
A1 C BE ，A1C BD 即 A1 C BE， A1C BD
又 BE BD B ,
A1 C
平面 EBD .
………………………４ 分
7
（Ⅱ）设面 A1 B1C 法向量为 n (x， y， 1)
A1 B1 (3，0，0)，B1C (0，3， 4)，A1 B1 n ，B1 C n
2
(A)
2
(B) 2 1 2
(C) 2 2
(D) 2 1
6．已知等比数列 { an } 的前 n 项和 Sn 2 n 1，则 a12 a22 … an2 等于
(A) (2n 1) 2 7．不等式 ax2 bx
(B) 1 (2n 1) 3
2 0 的解集是 (
(C) 4n 11
, ) ，则 a 23
1 b 等于
3x 0，3y 4 0 得 n
0，4 ，1 3
单位法向量 n0
0，4 ，3 55
∴点 A 到平面 A 1B1C 距离为
d
|
AA1·n
|
| (0，0，4)· 0，4 ，3 55
|
12 . ………………………８ 5
分
（Ⅲ） DE
3，0，9 4
， 面 A1 B1C 法向量为
n0
0，4 ，3 55
DE 与 n0 夹角余弦 cos DE ，n0
则 A1(0，0，4) ， B1 (3，0，4)， B (3，0，0)， C (3，3，0)， D (0，3，0) 并设 E (3，3， x)
BE (0，3， x)，B1C (0，3， 4)
BE B1C , E 3，3，9
4
BE·B1C 0，得： x 9 4
A1C (3，3， 4)，BE
0，3，9 ，BD 4
(D) 2π 3
3， A
π ，则 B =
3
4．若公差为 2 的等差数列 an 的前 9 项和为 81，则 a9 =
(A) 1
(B) 9
(C) 17
(D)19
1
5．设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若 F1PF2 为等腰直角三角
形，则椭圆的离心率是
MA
MB 为定值 .
3
22． (本小题满分 12 分 )
在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 F ,T , M , P 满足 OF (1,0) ， OT ( 1, t ) ，
FM MT ， PM FT ， PT // OF ． （Ⅰ）当 t 变化时，求点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）若过点 F 的直线交曲线 C 于 A, B 两点，求证：直线 TA,TF , TB 的斜率依次成等差数列．
16 ．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用
A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要
用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该
企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是
a1
数列 a n 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列
an 3 3n 1 3n
（ 6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn (2n 1)an (2n 1) 3n
（ 1 分）
an 1 3 an
（ 3 分）
（ 5 分）
6
Tn 1 3 3 32 5 33 ... (2n 1) 3n
3Tn 1 32 3 33 5 34 ... (2n 1) 3n 1
27
20
9
2
9
32
25
4
9
∴ED 与平面 A1B1C 所成角正弦值为
.
25
20． (本小题满分 12 分 )
……………………… 12分
在四棱锥 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形 ,平面 VAD ⊥底面 ABCD ．
（Ⅰ）证明 AB ⊥平面 VAD ； （Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．
(D) 1 (4n 1) 3
(A) 10
(B) 10
(C) 14
23
8．已知 a 0, b 0 ，且 2a 3b 1，则
的最小值为
ab
(D) 14
(A) 24
(B) 25
(C) 26
(D)27
9．若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为 3 ，则此双曲线的渐近线方程为
(A) y x
(B) y
2x
（Ⅰ）若 c 1 ，求 ABC 面积的最大值；
（Ⅱ）若 a 2b ，求 tan A . 解 :设（Ⅰ）由余弦定理得 a2 b2 2abcos120 1,
2
a
2
b
ab
1a
1 b 时取等号；解得 ab ≤ ，
3
故 S△ ABC 1 absin C 2
3 ab ≤ 3 ，即 △ ABC 面积的最大值为 3 ； ………………………５ 分
1．下列说法正确的是
(A) 命题 “若 x2 1 ，则 x 1 ”的否命题为： “若 x2 1 ，则 x 1 ” (B) 若命题 p : x R , x2 2x 1 0 ，则命题 p : x R , x2 2x 1 0
(C) 命题 “若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为真命题
(D) “x 1 ”是 “x2 5 x 6 0 ”的必要不充分条件
3
），
2
2
2
2
2
13 ∴ AB (0,1,0), AD (1,0,0), AV ( ,0, ) ………………………………３ 分
22
8
由 AB AD (0,1,0) (1,0,0) 0 AB AD ……………………………………４ 分
13 AB AV (0,1,0) ( ,0, ) 0
AB AV ……………………………………５
错位相减得
2Tn 1 3 2 32 2 33 ... 2 3n (2 n 1) 3n 1= 6 (2 n 2) 3n 1
Tn (n 1) 3n 1 3
（ 12 分）
19． (本小题满分 12 分 )
已知：如图所示， 长方体 AC1 中，棱 AB BC 3 ，棱 BB1 4 ，连结 B1C ，过点 B 作 B1C 的垂线交 CC1
2．已知向量 a (1,1,0) ， b ( 1,0,2) ，且 ka b(k R) 与 2a b 互相垂直，则 k 等于
(A) 1
1
(B)
5
3
(C)
5
7
(D)
5
3．设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c ，若 a 3 ， b
π (A)
6
(B) 5π 6
(C) π或 5π 66
__________ 万元．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分 ．
17.（本题满分 10分）
已知 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a ,b ,c ， C 120 ． （Ⅰ）若 c 1 ，求 ABC 面积的最大值；
（Ⅱ）若 a 2b ，求 tan A .
18．（本小题满分 12 分）
5
参考答案
一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 60 分．
1
2
3
4
5
6
7
89
C
D
A
C
D
D
A
BB
二、填空题：本大题每小题 5 分；满分 20 分．
10
11
12
A
C
C
13． 4 .
16
14． .
3
15． 8 ． 16． 27 ．
三、解答题：
17． ( 本小题满分 10 分)
已知 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a ,b ,c ， C 120 ．
绝密 ★启用前
第一学期期末考试
注意事项：
高二年级 (理科数学 )试题卷
本试卷共 22 小题，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 .
1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓 名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 答案， 答案不能答在试卷上 。不按要求填涂的，答案无效。
4
12
12
（Ⅱ）因为 a 2b ，由正弦定理得 sin A 2 sin B ，又 C 120 ，故 A B 60 ，
sin A 2sin(60 A) 3 cos A sin A ，
3 cos A 2sin A ，
3
tan A
.
2
18． (本小题满分 12 分 )
设 Sn 是数列的前 n 项和，已知 a1 3 ， an 1 2Sn 3 (n N* ) .
2
2
14．过抛物线 y 1 x2 的焦点 F 作一条倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A 、B 两点， 则 AB __________ ． 4