高二学年下学期期末考试数学试题（理科）试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为（ ）A i 54-B 54-C i 54D 54 2．设集合{20},{ln(1)},A x x B x Z y x =-≥=∈=+则A B ⋂=（ ） A [1,2]- B (1,2]- C {0,1,2} D {1,0,1,2}-3. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定为（ ）A 0232,0200<++∈∃x x R xB 0232,0200≤++∈∃x x R xC 0232,2<++∈∀x x R xD 0232,2≤++∈∀x x R x4.下列说法错误的是（ ）A 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B 在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D 在回归分析中，20.98R =的模型比20.80R =的模型拟合的效果好5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+当[0,2)x ∈时，2()f x x x =-，则(1)(2)(2020)f f f +++=……（ ）A 2-B 1-C 0D 26．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ） A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油7．由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭平面图形的面积为（ ）A329B 4ln3-C 4ln3+D 2ln3- 8.已知2x =是函数3()=32f x x ax -+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为( ) A 14- B 18 C 14 D 18- 9.设函数()()(11)f x ln x ln x =-+-，则()f x 是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1))上是减函数10.某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A 2264A C B226412A C C 2264A A D 262A 11．设函数()x xf x e ae -=+在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A [1,)+∞ B (,1]-∞ C 1,)+∞（ D (,1-∞）12．赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行. 赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(33,4)N ，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ,下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是 （ ） （1）若8:00出门，则乘坐公交上班不会迟到；（2）若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大； （3）若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大; （4）若8:12出门.则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.参考数据2~(,),Z N μσ则()0.6827P Z μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+≈A (1)(2)(3)(4)B (2) (4)C (3)(4)D (4) 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 在R 上为奇函数，且0x >时，()1f x x ＝＋，则()2______f -＝ 14.252()x x+的展开式中4x 的系数为______15. 甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员髙，甲与乒乓球运动员身髙不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是________16．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e-=的切线，则k 值为________三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17（本题10分）已知函数()2f x alnx bx a b -∈R ＝，，，且曲线()y f x ＝在1x ＝处与直线12y =-相切． (1)求a b ，的值；(2)求()f x 在1[,e]e上的最大值．18（本题12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：0C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7（1） 求出y 与x 的回归方程^^^y b x a =+；（2） 判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为06C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；附：（∑∑==∧--=ni ini ii xn xy x n yx b 1221，x b y a ∧∧-=）19（本题12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中。

已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是12,33（1）分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记X 为落入B 袋中的小球的个数。

求X 的分布列、数学期望和方差。

20（本题12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了 “微信运动”，他随机选取了其中的40人(男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数性别 0~20002001~5000 5001~8000 8001~10 000 >10 000 男 12 3 6 8 女0 2 10 6 2(1) 若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；(2) 已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为 “评定类型”与“性别”有关. 积极型 懈怠型 总计 男 女总计22(),+c+d()()()()n ad bc K n a b a b c d a c b d -==+++++附：其中20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87921（本题12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电。

下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X (单位：万立方米)的频率分布直方图（不完整），已知[0,120]X ∈，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计。

（1） 请把频率分布直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如6090X ≤<时，才够运行两台发电机。

若运行一台发电机，每天可获利为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元。

以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？ 22. （本题12分）已知函数2()(2)()xf x xe a x x a R =-+∈ (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1a e >时，函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，求证：123ln 2x x x a ++<高二下学期期末考试 数学答案（理科）一、 选择题 DCABC DBBAB BC二、 填空题 13、3- 14、 40 15、 乙 16、11e或 三、 解答题 17、解（1）()2af x bx x'=- ，已知得 (1)0201,111(1)222f a b a f b b '=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨=--=-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩即解得 （2）由（1）得22111()ln (0);()2()0,01;()0,11()(,1)11()[,](1)2xf x x x x f x x x xf x x f x x f x e f x e f e -'=->=-=''><<<>=-令得令得所以在上单调递增，在(1,e)上单调递减，所以在上的最大值为1221^^^^^1811(258911)7;(1210887)9552875790.562955779(0.56)712.920.5612.92(2)0.56060.56612.92ni ii nii x y x y nx yb xnxa yb x y x b y x x y --∧==--=++++==++++=--⨯⨯===--⨯⨯-=-=--⨯==-+=-<==-⨯+∑∑解：（1）由表得所以回归方程为由所以与之间是负相关当时，9.56=所以该店当日的营业额约为9.56千元A M 181B N ();2727312()1()133P M P N P M =+==-=-=19解（1）记“小球落入袋中”为事件；“小球落入袋中”为事件故从而 44221~()()(0,1,2,3,4)333k k kk k ξξξ-==（2）由已知B(4,),P()=C 则的分布列为：()4;()433339E D ξξ=⨯==⨯⨯= 20357,408750008=解：（1）由题意知40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为所以估计他所有微信好友中每日走路步数超过步的概率为（2）由表中数据填写列联表如下：2240(141268)403.8412020221811⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯计算观测值K所以没有95% 以上的把握认为“评定类型”与“性别有关”1563121==364770111[0,30)=,()301701052101,210a a a +++⨯==频率解：（1）在区间[30,60)的频率为，组距频率设在区间上，组距解得补全频率分布直方图如下图所示：1Y 73721;77[1]1Y -500,4000（2）记水电站日利润为元，不能运行发电机的概率为；恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为好运行三台发电机的概率为；若安装台发电机，则的可能值为，其分布列为：Y -500 4000 P1/76/7()5004000777E Y =-⨯+⨯=[2]Y -100,3500,8000若安装2台发电机，的值为，分布列为：Y -1000 3500 8000 P1/73/73/7()100350080007777E Y =-⨯+⨯+⨯=[3]Y -1500,3000,7500若安装3台发电机，的值为，12000分布列为：Y -1500 3000 7500 12000 P1/73/72/71/7132134500()1500300075001200077777345003350023500777E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=>>∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机1212122322(22)(1)(2)()0,1,ln 2,1ln 2,()0;ln 2,()0;()(,1),(ln 2,);(1,ln 2)(2)(0)0,00,ln ,.2x x x x x xe x x e f x x x x f x x f x f x f x x x a a e +'+-+=+-'==-=''<->><<∴-∞-+∞-=∴=+=<>解（1）f (x)=e 令得x 当或时当-1<时增区间为减区间为证明是函数的一个零点，不妨设x 则要证只需证12121212121212121212122122121221221212()0(2)0,(2)0(2)[1];(2)[2][1][2],,()()10x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x e a x x x e a x e a x e a x e e a a e x x e e e x x x x e e x x e ex x ex x +++--=-+=-+=∴=+=+--=>-->>-->---->-由得是方程的两个根，得代入，只需证不妨设只需证只需证设22123,210(0)221;(1);()(1)()=e 10,()+()(0)0,0,++ln 2t t t t t t t t t te t te e t t e t t t t x x xaϕϕϕϕϕ=-->>--'--=--'->∴∞>='∴>∞+<则等价于e 设g(t)=e 只需证g(t)>0g (t)=2e 设在（0，）上单调递增g (t)g(t)在（0，）上单调递增g(t)>g(0)=0综上所述。