极化恒等式
例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量,a b
满足
a b a b +=-=，则a b ⋅等于 （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 5
例2：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的取值范围是
例3：正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的
线段称为球的弦），P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最大值为
例4：△ABC 中，∠C=90︒，AC=4，BC=3，D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且
EF=1，则DE DF ⋅u u u r u u u r
的最小值等
一、求数量积的值
1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 的两个三等分
点，4,1BA CA BF CF •=•=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，则BE CE •=u u u r u u u r .
2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC ==则
AB AC •=u u u r u u u r
.
3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3,1,AB BD ==则
AB AD •=u u u r u u u r
4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，3,4,AB AD ==P 为矩形
ABCD 所在平面上一点，满足2,PA PC ==则PB PD •=u u u r u u u r
.
二、界定数量积的取值范围
5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在Rt ABC ∆中，3,,CA CB M N ==是斜边
AB 上的两个动点，且MN =则CM CN •u u u u r u u u r
的取值范围为
（ ）
A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. []2,4
C. []3,6
D. []4,6
三、探求数量积的最值
6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则
()
PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r
的最小值是 （ ）
A. 2-
B. 32-
C. 4
3
- D. 1-
7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，1AB AD ==。
若
点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r
的最小值为（ ）
21
.16
A 3.2
B 25.16
C .3D
8.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量,,1,2,a b a b ==若对任意单位向量e ，均有
a e
b e ⋅+⋅≤则a b ⋅的最大值是 .
四、处理长度问题
9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
()()0,a c b c -•-=则c r
的最大值是 （ ）
A. 1
B. 2
C.
D.
2
10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，121212,1,.AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r
若
1
2OP <u u u r ,则OA u u u r 的取值范围是 （ ）
A. ⎡⎢⎣⎭
B. ⎝⎦
C. ⎝
D. ⎝
11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量,a b 满足：1,2,a b ==则a b a b ++-的最小值是 ，最大值是 .
12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD 中，1,60,AD BAD E =∠=︒为
CD 的中点.若1AC BE •=u u u r u u u r
，则AB = .
13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成平面角大小为60︒的二面角，则边BC 的中点与点A 的距离为 .
14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P 是椭圆22
1169x y +=上异于长轴端点的任意一点，
12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，则2
12PF PF PO •+= .
五、解决综合性问题
15. （2012年高考江西卷理科第7题）在Rt ABC ∆中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
22
2
PA PB PC
+等于 （ ）
A.2
B. 4
C. 5
D. 10
16. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AB =
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC •≥•u u u r u u u r u u u r u u u r
，则 （ ）
A. 90ABC ∠=︒
B. 90BAC ∠=︒
C.AB AC =
D. AC BC =
17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB 与抛物线2y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若点0C 满足{
}
00min C A C B CA CB •=•u u u u r u u u u r
u u u r u u u r
，则下列一定成立的是（其中l 是抛物线过点0C 的切线） （ ） A. 0C M AB ⊥ B. 0C M l ⊥ C. 00C M C B ⊥ D. 01
2
C M AB =
18. （2014年高考浙江卷理科第8题）记{}{},,,,
max ,min ,,,,,
x x y y x y x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨⎨
<<⎩⎩设,a b 为平面向量，则 （ ）
A. {}{
}min ,min ,a b a b a b +-≤ B. {}{}
min ,min ,a b a b a b +-≥ C. {
}
22
2
2
max ,a b a b a b +-≤+ D. {
}
22
22
max ,a b a b
a b +-≥+
19. （浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图5，在等腰梯形ABCD 中，
2,4,5AB CD BC ===,点,E F 分别为,AD BC 的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四
条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ•=u u u r u u u r
成立，那么λ的取值范围是（ ）
A. 5
9,420⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ B. 911,204⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 9
1,204⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 511,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
20. （2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC ∆中，已知46AB =，6cos B =，AC
边上的中线5BD =，求sin A 的值.。