极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,
3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅最小值为______
【答案】154
【解析】 设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2
CM =，即点M 在如图所示的圆弧上， 则2222
11115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14
AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅,则三角形ABC 形状为_______.
【答案】C 为顶角的等腰三角形.
【解析】
取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ⋅⋅
222
2011||||||44
PD BC P b BC ∴--0||PD P D ∴ 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=
即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.
3. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是_____
【答案】32
- 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,
222133()22||||2||222
PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥- 当且仅当M 与P 重合时取等号
4. 直线0ax by c ++=与圆22
0:16x y +=相交于两
点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为_______
【答案】[6,10]- 【解析】 圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为22||
1c d a b ==+
设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-
||||||||||OP OA PA OP OA -+
23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-
5. 如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，
,||3,AD BD AD ⊥=,6BAD π
∠=
12()CM CA CB =+1()2
CN CD CA =+，则CM CN ⋅的最大值为______
【答案】1(134)4
+ 【解析】
设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，22213()(3)246
11HG =+= 21||4CM CN CG ⋅=-221||||16
MN CG =- 2
11311311||||||(134)2424164CG CH HG CM CN ⎛⎫+=+∴⋅+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
所以CM CN ⋅的最大值为
1(134)4+。