极化恒等式
()2
22
2
2
2C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1） ()
2
22
2
2
2b b a a b a DB
DB +⋅-=-== （2）
（1）（2）两式相加得：⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222
2
22C AD AB b a DB A
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢
b a ⋅＝()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式
的几何意义是什么
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
4
1. 即：[]
2
24
1DB AC b a -=
⋅（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2
2
4
1DB AM
b a -
=⋅（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=
____ . 目标检测 目标检测
例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014
P B AB =，且对于边AB
上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。

则( )
A . 90ABC ∠=
B . 90BA
C ∠= C . AB AC =
D . AC BC =
例4. (2017全国2理科12)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 4
3
- D.1- 课后检测
1.在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =
，D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的
A
B C
M
最小值为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +⋅的最小值为____________
3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且
2AP =，则PB PC ⋅的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线
右支上任意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .
5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .
6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o
,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）
A ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
1,21 B ．[)1,1- C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1-
7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3
B π
=
，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围是 ．
9. 2
2
.
2.2.1.)
(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足
，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】
（一） 平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然
O
（二） 等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；
（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、 确定等值线为1的线；
2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角
为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。

跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1
cos 3
ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______
例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.
例3、如图，在扇形OAB 中，0
60AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，
OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.
跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，
设AE x AD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.
A
【强化训练】
1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP x AB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.
2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ x AM yBN =+，则x y +的取值范围__________.
3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =
12DE AB AC λλ=+ （12,λλ为实数）
，则12λλ+的值为4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP x AB y AD =+，则x y +的取值范围__________. 5、已知||1,||3OA OB ==
，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设
OC mOA nOB =+，则
m
n
的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一
点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.
7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。

若PMN ∆为以M 为直角顶
点的直角三角形，则x y - 取值的集合为_______
8、平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中,OA OB 夹角为0120，,OA OC 的夹角为030，且
||||1OA OB ==，||23OC =，若OC mOA nOB =+，则m n +的值为
____________________。

9、如图，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，
若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围为___________。

10、已知O 为ABC ∆的外心，若(0,0),(2,0)A B ，1,AC BAC =∠=
AO AB AC λμ=+，则λμ+=________.
11、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=1
||c ta b t
++的最小值为_______________.。