j T 2
)
T
sin(T
2
T
)
e
j T 2
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j) T
2
T
2
相频特性
Gh
(
j
)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除 了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。 因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来 的连续信号e（t）是有差别的。
【例7-1】求单位阶跃函数1（t）的z变换
解 单位阶跃函数的采样函数为
f (nT ) 1(t) 1
n=0、1、2、…
代入上式，得
F (z) 11* z1 1* z2 L 1* zn L
对上式进行级数求和，写成闭合形式，得
Z[1(t)]
F(z)
1 1 z1
z
z 1
（|z|>1）
【例7-2】求 f (t) eat 的z 变换
e*(t) e(t) (t nT ) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
n0
采样过程相当于一个 脉冲调制过程，其中输 入信号e（t）为被调制
信号，载波信号 T (t) 决
定采样时刻。即采样开
关输出信号 e* (t) 的幅
值由e（t）决定，存在 的时刻由 T (t) 决定。
二、 采样定理
E * (
j)
1 T
n
E(s
jns )
E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱；
E（jω）——连续信号e（t） 的频谱
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
s 2max ——香农（Shannon）采样定理
根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样 引起炉温震荡。
采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个 采样开关，它周期性的闭合和断开。
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。从零阶保持器输出关系图中也 可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的 形状与原连续信号e（t）相同，相位滞后T/2，该 曲线的数字表达式为e（t-T/2）。与他各阶保持器 相比，零阶保持器产生的相位滞后最小。
7.2 z变换与反变换
一、z 变换的定义
解 因为 f (nT ) eanT 代入定义式中，得
F (z) 1 eaT z1 e2aT z2 L enaT zn L
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (eaT
)
F
(
z)＝ 1
1 eaT
z
1
z
z eaT
eaT z1 1
2、部分分式法
F(s)
n i 1
Ai s pi
z F (z)
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采 样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 f (t)经过 采样开关，变成采样信号 f *(t)
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
L[ f *(t)] F *(s) f (nT )enTs n0 将F *(s)记作F(z)
采样值经过保持器即不 放大，也不衰减，保存一 个采样周期T。
单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为
gh (t) 1(t) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为
Gh
(s)
1
e s
Ts
令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为
Gh
(
j
)
1
e jT
j
2e
j T 2
j T
(e 2 e
2 j
试用终值定理确定终值
解：由终值定理得
e() lim (z 1)
0.792z 2
z 1
(z 1)(z 2 0.416z 0.208)
0.792z 2 lim
z1 z 2 0.416z 0.208 1
二、z变换的方法
1、级数求和法
F (z) f (0) f (T )z1 L f (nT )zn L
如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相 邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器， 也难以准确的恢复原来的连续信号。
三、 保持器
1、 零阶保持器
把 前 一 个 采 样 时 刻 nT 的采样值不增不减的保持 到 下 一 个 采 样 时 刻 （ n+1 ） T的保持器称为零阶保持 器。其输入信号与输出信 号之间的关系如图所示。
令 z eTs L[ f *(t)] F (z)＝ f (nT )zn n0
和差
乘常数
变
换 相
时位移
关
定 复变换
理
初值定理
终值定理
Z r1(kT) r2(kT) R1(z) R2(z)
Z ar(kT) aZ r(kT) aR(z)
Z r(kT nT ) znR(z)
Z
r(kT
nT
)
zn
R(z)
n1 k 0
r (kT
)zk
Z emakT r(kT ) R(z(z)
k 0
z
lim r(kT ) lim(1 z1)R(z)
k
z1
例7-0：设Z变换函数为
E(z)
0.792z2
(z 1)(z2 0.416z 0.208)
第七章 离散控制系统
控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数， 而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统 称为离散控制系统。
离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统
离散控制系统概述
以常规的炉温系统为例
由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢， 当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开 度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动 机反过来旋转。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
7.1 信号的采样与复现
一、 采样过程
采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲 序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉 冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程 ，下图表示采样的基本过程。
采样开关的输出信号：
n i 1
Ai z z e piT
【例7-3】已知 F (s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a