12.2控制系统的离散化方法
• 前向差分法； • 后向差分法； • 双线性变换法； • 脉冲响应不变法； • 阶跃响应不变法； • 零、极点匹配法等六种方法。
前向差分法
已知控制器的传递函数为 U (s) D(s) b
E(s)
sb
传递函数转化成微分方程
U (s)(s b) E(s)b u '(t) bu(t) be(t)
1
]
(s 1)(s 2)
TZ [ 1 s 1
s
1
2
]
T[
z
z eT
z
z e 2T
]
零极点匹配等效法
通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。
映射规则如下：
(1) D(s)的全部有限零点和极点按照 z eTs 映
射到Z平面。
(2) D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为
z=-1。(这是近似映射关系)
连续与离散控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub (kT) ub (kT T )
kT-T kT
脉冲传递函数
[bub (kT) be(kT)]T
Ub (z) z1Ub (z) TbUb (z)
字控制器。
解：(1) 将连续系统的有限零极点映射到Z平面
① 有限零点 s 2, z e2T，即z－e2T＝0
② 有限极点
D(s)
D(z)
s 1, s 3 z eT , z e3T (s+2)
(s+1)(s+3)
(z-e-2T) (z-e-3T)(z-e-T)
零极点匹配等效法举例（续1）
离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连 续控制器的脉冲响应采样值相等。
D(z) TZ[D(s)]
T是补偿采样引进的1/T因子。
例12.2已知连续控制器的传递函数D(s)
(s
1 1)(s
2)
试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续
控制器离散成数字控制器。
解：(1) 阶跃响应不变法
阶跃脉冲响应不变法举例
=0 z=-1
零极点匹配等效法举例（续2）
(3)匹配增益因子
D(s) 0, D(s) 2 3,可见D(s)有低通特性，因此增益因子为
s
s0
K (z 1)(z e2T )
s2
D(z) z 1
D(s) s0
(z e3T )(z eT )
z
Байду номын сангаас
1
(s 1)(s 3)
s
0
K 2(1 e2T ) 2 K (1 e3T )(1 eT )
0.26T
2(z
1)2
T (z 1)
T (z 1)
(z 1)2
(z 1)2 4.66 ，（设T 1s）
4(z2 2z 1) 0.4(z2 1) 0.26(z2 2z 1) z2 1.605z 0.8283
三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
三种变换法的运用举例（续4）
③双线性变换法
(z 1)2 4.66
(z 1)2 4.66
Gt (z) z2 1.605z 0.8283 (z 0.8025 j0.4293)(z 0.8025 j0.4293)
z1,2 0.9101 0.4912
极点在单位圆内，系统是稳定的。
通过这三种方法得到的离散化结果与通过
12.3PID控制器的基本原理
e(t) r(t)
y(t)
z1,2 1.029 0.5071
系统不稳定。
三种变换法的运用举例（续3）
②后向差分法
Gb (z)
z2
z2 1.5068z
0.68493
z2 /1.46
(z 0.7534 j0.34253)(z 0.7534 j0.34253)
z1,2 0.8276 0.4267 极点在单位圆内，系统是稳定的。
对上式取Z变换
Ut
(
z)
z 1U
(
z)
T 2
[z
1bUt
(z)
z 1bE ( z )
bU
t
(
z)
bE(z)]
脉冲传递函数
U t (z) bT (z 1)
bT (z 1)
b
E(z) 2z 2 Tb Tbz 2(z 1) Tb(z 1) 2 (z 1) b
T (z 1)
双线性变换法（续1）
比较s与z的关系得：s
TbE(z)
z 1
Ub (z) E(z)
(z
b 1) / Tz
b
Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化
后，离散系统一定稳定。
双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
ut
(kT)
ut
(k
T
T
)
T 2
[but
(kT
T
)
kT-T kT
be(kT T ) but (kT) be(kT)]
1s
六种离散化方法的特点
设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极 点匹配映射法和双线性变换法较好。
1. 前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。
2. 后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增 益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频 率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别， 采用高采样率可减少这种差别。 3. 脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频 率混叠问题 ，只适用于连续控制器具有陡峭的 衰减特性，且为带限信号的场合。
② 若D(s)具有高通特性则令 D(s) s D(z) z1
③ 若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性 则在一个特殊频率处令
D(s) s j0
D(z) ze jT0
零极点匹配等效法举例
例12.3已知连续控制器的传递函数
D(s)
s2 (s 1)(s 3)
试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数
(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应
于D(z)分子上的(z+1)因子。
D(s) s 2
0 (可见s 为D(s)的零点)
s (s 1)(s 3)
s
D(s) 的零点对应D(z)分子上的(z 1)因子 s
(s+2) =0
(s+1)(s+3) s=∞
(z+1) (z-e-2T)
(z-e-3T)(z-e-T)
D(z) (1 z1)Z[1
1
] (1 z1)Z[1/ 2 1 1/ 2 ]
s (s 1)(s 2)
s s 1 s 2
z 1[1 z2
z z 1
z z eT
1 2
z z e2T
]
1 2
z 1 z eT
1 2
z 1 z e2T
(2) 脉冲响应不变法
D(z) TZ [D(s)] TZ[
3.双线性变换z与s的关系
z 1 Ts/ 2 1 Ts/ 2
z 1 Tj / 2 1 Tj / 2
z平面
z的模为1，可见为单位圆
三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线
性变换法将传递函数 G(s)
1
离散化成脉冲传递函数。 (s 0.1 j0.5)(s 0.1 j0.5)
(1 e3T )(1 eT ) 3
3(1 e2T )
通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递 函数为：
D(z)
(1 e3T )(1 eT )(z 1)(z e2T 3(1 e2T )(z e3T )(z eT )
)
D(z)
0.231551(z 1)(z 0.13534) ,T (z 0.049787)(z 0.36788)
再将微分方程改写成积分形式
t
u(t) [bu( ) be( )]d
0
kT T
kT
u(kT ) [bu( ) be( )]d [bu( ) be( )]d
0
kT T
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积
前向差分法（续1）
u f (kT) u f (kT T )
[buf (kT T ) be(kT T )]T
因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z) 的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一 个s →∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s →∞的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。
零极点匹配等效法（续2）
(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 ① 若D(s)具有低通特性则令 D(s) s0 D(z) z1
kT-T kT 由差分方程求其Z变换
U f (z) z1U f (z) Tbz1U f (z) Tbz1E(z)
脉冲传递函数
Gf
(z)
bTz 1 1 (1 bT )z1