湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次函数性质及其综合考查 It was last revised on January 2, 2021湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及其综合考查一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身1.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12〕成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0 B. –2 52 2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( )(x 1)<f(x 2) (x 1)=f(x 2) (x 1)>f(x 2) (x 1)与f(x 2)的大小不能确定 3．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 3.设0a >，2()f x axbx c =++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点Ｐ到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ）1.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .]21,0[a .0,2b C a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1.0,2b D a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦4．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一（ ）则a 的值为（A ）1（B ）1-（C ）251--（D ）251+-5.不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为( )(A) (0,3)；(B) (3,2)；(C ) (3,4)；(D) (2,4)。

6．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >7. 已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n -=( )A 1B 34C 12D 388.已知{}{}2||21|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤A B =( )A .[)(]3,21,2-- B.(]()3,21,--+∞ C. (][)3,21,2-- D.(](],31,2-∞-9. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -9.函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ） A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2 C. a ∈[,]12 D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 10.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f11. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ） A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)12．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件； 命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真13. .已知关于x 的方程2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 12x x 、满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________.17{|}22m m -<< 14.已知b a ,为常数，若34)(2++=x xx f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5= 2 。

15.设函数f(x)=x 2+mx+n,2216)(x x x g -=若不等式()x g x f '≤≤)(0的解集为{x|2≤x ≤3或x=6},求m,n 的值.三.典型例题例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x ＋1)；解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)例2.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 解析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例3．（福建卷）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式； （II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（I ）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈（II ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370.x x -+=设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=-当10(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当10(,)3x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

101(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=>∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

例4：已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围解: (1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2c|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0，∴a >－a －c >c ,解得a c∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是1=a cac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)例5：已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式；(2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问 是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数点拨与提示：由f ［f (x )］=f (x 2+1)求出c ，进而得到函数的解析式，利用导数研究函数的单调性.解: (1)由题意得f ［f (x )］=f (x 2+c )=(x 2+c )2+c, f (x 2+1)=(x 2+1)2+c ,∵f ［f (x )］=f (x 2+1)∴(x 2+c )2+c =(x 2+1)2+c ,∴x 2+c =x 2+1,∴c =1 ∴f (x )=x 2+1,g (x )=f ［f (x )］=f (x 2+1)=(x 2+1)2+1(2)φ(x )=g (x )－λf (x )=x 4+(2－λ)x 2+(2－λ) 若满足条件的λ存在，则φ′(x )=4x 3+2(2－λ)x∵函数φ(x )在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x ＜－1时，φ′(x )＜0 即4x 3+2(2－λ)x ＜0对于x ∈(－∞,－1)恒成立∴2(2－λ)＞－4x 2, ∵x ＜－1,∴－4x 2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函数φ(x )在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x ＜0时，φ′(x )＞0 即4x 2+2(2－λ)x ＞0对于x ∈(－1,0)恒成立∴2(2－λ)＜－4x 2, ∵－1＜x ＜0,∴－4＜4x 2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4 故当λ=4时，φ(x )在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在例6. 已知t t f 2log )(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。

解:∵t ∈[2，8]，∴f(t)∈[21，3]原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要）当x ＝2时，不等式不成立。