0
dD0 =
∂f ∂f dD + dh = ∂D ∂h
D D2 − h2
dD −
h D2 − h2
dh =
D h dD − dh D0 D0
于是
m D0 = ± ( D 2 2 h 2 ) m D + (− ) 2 mh D0 D0
= ± (1.0023) 2 × 3 2 + (−0.0685) 2 × 50 2 = ±5mm
§5-2 衡量精度的标准
中误差：在测量工作中，用来反映误差分布的 密集程度的量，其大小为该组观测值所对应的 标准差的近似值。
– 由真误差计算中误差的公式
m=± [∆∆] n
容许误差：测量中规定的误差的限值，通常取 中误差的三倍或两倍作为限差。 相对误差：中误差与观测值的比值，并将分子 化作1。
§5-3 误差传播定律及其应用
其中 差。 即
是定值，为单位长度的量距中误
ห้องสมุดไป่ตู้
误差传播定律在测量上应用举例
(3)水平角测量的精度 J6级经纬仪一测回方向中误差为 角值是两个方向值之差，故一测回角值中误 差为 设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为 n边形闭合差的中误差为 取三倍中误差为容许误差，则多边形闭合差 的容许误差为 一般取 或 。
误差传播定律在测量上应用举例
（1）水准测量的精度 设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站， 则 若各测站观测的精度相同，其中误差均 为 ，则 。 设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L， 则测站数 如果L、S均以千米为单位，则 千米观测高差的中误差，令 为一
则有
误差传播定律在测量上应用举例
（2）距离丈量的精度 若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段， 设全长为D，则 设每尺段的量距中误差为 则
偶然误差
– 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果单个误差出现 的符号和大小都表现出偶然性，但多次观测的误差总体上具 有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。 – 任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差 （错误）。 – 当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限 度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然 误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。
即
D0 = 29.922m ± 5mm
。
误差传播定律（非线性函数）
设对下图中的三角形测得 α = 50 05'50"±10"，β = 89 43'40"±20" b = 150.00m ± 0.05m ； 试求 a 边的长度及其中误差 ma 。 sin α 0.767134 解： a=b = 150.00 × = 115.07m
误差传播定律
– 解决如何根据观测值的中误差，求得观测值函数的 中误差。 – 线性函数的误差传播定律 – 非线性函数的误差传播定律
误差传播定律在测量上应用举例
– – – – 水准测量的精度 距离测量的精度 水平角测量的精度 根据实际要求确定观测精度和观测方法
误差传播定律（线性函数）
设t个独立观测值的线性函数 则有 假若对该组观测值进行n次观测，有 将上列n个式子平方后求和，得 其中 有
观测值的中误差
由观测值的真误差计算中误差 （1） 其中 改正数的概念 由观测值的改正数计算中误差 （2）+（3），得 令算术平均值的真误差为 则有 （5）
（2） （3）
（4）
观测值的中误差
由（3）可知（5）中 所以有 而
当n无限增大时，上式右端第二项趋于零，于是有
由改正数计算观测值的中误差
实例
sin β 0.999989
得
sin α 为便于对 求全微分，先对其取自然对数， sin β ，然后对上式求全微分，有 ln a = ln b + ln sin α − ln sin β a=b
da db = + ctgαdα − ctgβdβ a b
统一单位后 ，则有
" mβ 2 mα 2 a2 2 2 2 2 2 2 ma = 2 mb + a ctg α ( ) + a ctg β ( ) ρ" ρ" b "
误差传播定律（线性函数）
两种特殊情况 （1）设Z是一组同精度独立观测值的代数 和，该组观测值的中误差均为m，即 则 （2）对某量同精度观测n次，算术平均值 为 设一次观测的中误差为m, 则
误差传播定律（非线性函数）
设t个独立观测值的非线性函数 对该式求全微分，并用真误差代替微 分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式， 可得
观测条件 等精度观测与非等精度观测
误差的分类
系统误差
– 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差出现的符 号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差。 – 系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算 改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
第五章 测量误差的基本知识
测量误差概述 衡量精度的标准 误差传播定律及其应用 等精度观测值的算术平均值及精度评定
§5-1 测量误差概述
误差的概念及来源
– 误差：对于某一个客观存在的量，尽管采用了比较 精密的仪器和合理的观测方法，测量人员工作的态 度也很认真负责，但多次测量的结果——观测值与 观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是 ∆ 存在差异，这种不可避免的差异叫做误差，i = Li − X 。 – 仪器误差：由于仪器设计、制作不完善，或经检验 校正还存在残余误差，给观测值带来的误差。 – 人为误差：由于人的感觉器官鉴别能力的限制，技 术水平的高低和工作态度的好坏，给观测值带来的 误差。 – 外界条件的影响：由于测量时外界自然条件如温度、 湿度、风力等的变化，给观测值带来的误差。
则有 即 角应测5测回。
§5-4 等精度观测值的算术平均值 及其精度评定
算术平均值 算术平均值的中误差 观测值的中误差
– 由观测值的真误差计算中误差 – 改正数的概念 – 由观测值的改正数计算中误差 – 实例
算术平均值及其中误差
算术平均值 设在相同的观测条件下对某量进行n次独立 观测，则观测值的真误差为 。 将上式求和后除以n，得 ， 即 其中， 称为观测值的 算术平均值。 当观测次数n趋近于无穷大时，观测值的算 术平均值的极限就是该量的真值。所以，算术平均 值又叫做最或然值或最可靠值。 算术平均值的中误差
设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。 试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值 中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）
偶然误差的分布
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。 偶然误差服从数学期望为0的正态分布，即
。
偶然误差的统计特性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对 值超过一定限度的概率为0； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现 的概率大； 绝对值相等的正误差与负误差出现的概 率相等； 当观测次数无限增多时，偶然误差的算 术平均值趋近于零。
误差传播定律在测量上应用举例
（4）根据实际要求确定观测精度和观测方法
设对某三角形观测了 及 ，若 角以±3″的精度观测， 为使 角的中误差≤ ±5″，问 应以怎样的精度进行观测？ 若使用J6级经纬仪应测几测回？ 解： 根据误差传播定律，有 所以 J6级经纬仪一测回测角中误差为±8.5″， 若观测n个测回， 角平均值的中误差为
= 0.00156m 2
即
m a = ±0.04m
a = 115.07m ± 0.04m 。
运用误差传播定律的方法
（1）建立函数 （2）对于独立观测值的线性函数，可直接应 用误差传播定律公式；若自变量中有非独立观 测值，应变换成独立观测值的线性函数后，才 能应用误差传播定律。 （3）对非线性函数，必须先求其全微分化成 线性形式。 （4）连乘连除的非线性函数，可先取对数， 再求全微分。 （5）注意统一单位。
误差传播定律（非线性函数）
设沿倾斜面上A、B两点间量得距离 D = 29.992m ± 3mm ， 并测得两点之间的高差 h = 2.05m ± 50mm 。 试求水平距 离 D0 及其中误差 mD 。 解： D0 = D 2 − h 2 = (29.992) 2 − (2.05) 2 = 29.922m 对 D0 = D 2 − h 2 求全微分，得