xf ( x )dx
e
x
1 2
2

ex
一维正态随机变量X的数学期望 推导：
E( X )

(x - ) 2 2(x - ) d( ) dx 2 2 2 2
1 2
2

xf ( x )dx
x 2
1 2
2


x
1 2
第二章 偶然误差的统计特性与精度指标
本章重点
1.正态分布与偶然误差的规律； 2.衡量精度的指标；
3.精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；
§2-1 正态分布
概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 为什么正态分布是一种重要分布？ （1）设有相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn,其总和为X=Xi,无论这些随 机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有 有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X的影响都是均匀地小， 即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和X将是服从或近似服从正态分
布的随机变量。
换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因
素的影响，其中每一个引起的基本误差项为δi，而总的测量误差= δi，如
果每一个δ对其总和的影响都是均匀地小，那么，总和就是服从正态分 布的随机变量。 （2）有许多种分布，如二项分布、t分布等等，当n
∞时，它们多趋近于

x
i 1
i
pi
绝对收敛，则称级数
E( X )

x
i 1

i
pi
为随机变量X的数学期
望或算数平均值，记为
x
i 1
i
pi
定义1.2：若连续型的随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分
E( X )





xf ( x )dx

xf ( x )dx 为X的数学期望或平均值，记为
则有
~ L L
（2-2-2）
T
如果以被观测量的数学期望 表示其真值，则
EL EL1 , EL2 ,, ELn
~ E L L , L E L.
（2-2-3）
测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的，△仅仅 是指偶然误差。 人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的 分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。
x

x
1 2
e

1 2
2
( x )2
dx
dx dt
1 t2 2
作变量代换，令
则有
t


,
x t ,
1 t2 2
E( X )
因为

1 2

故

te
1 t2 2
dt -e

1 t2 2
( t )e
对于连续型的随机变量X，若X的概率分布密度函数为f(x)，则有
D( X )
D( X )


推导 令

f ( x )x E ( x ) dx 2
2
2
x 2 x E ( x ) f ( x )dx
2
x
e

正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。
一、一维正态分布
1.概率密度:
f(x)
1 2
e

( x )2 2
( x ) 1 2 2 ( x )2 }
或写为 f(x)
1 2
exp{
其中μ和σ是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机 变量数字特征为μ和σ的正态分布，一般记为 x ～
2
e
1
d(2
(x - ) 1 ) e 2 2 2

1 2
2
dx
2 2 ( x ) e 2
f ( x )dx

概率=1
1 1 2 ( x )2 e 2
e

( x )2
dx (x )
1 2
2

1 2
e

( x )2
dx




1 2
( x )2 2
d(x )
2


e 2
( x )2
dx
( x )2


( x )2

二、N维正态分布
量X的联合概率密度函数是
f( X ) DXX 1
1 2
T 设随机向量 X ( x1 , x2 ,, xn ) 服从正态分布，则n维正态分布的随机向
2
n 2
1 T 1 X X exp X X DXX 2
n维正态随机变量 X
N ( , 。 )
2.一维正态随机变量X的数学期望和方差
E( x )


f ( x ) xdx
2
D( x ) E x E ( x )
推导：

Biblioteka f ( x )x E ( x ) dx 2
2

E( X )

xf ( x )dx
i
§2-2 偶然误差的规律性
任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数 值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶 然误差时，其数学期望也就是它的真值。
一、真误差——偶然误差的定义 设进行了n次观测，其观测值为L1、L2、„、Ln,假定观测量的真值 为
~ ~ L1 、 L2、„
dt
2 2

k
0
t2 exp 2
dt
由正态分布概率数值表查得：
p( x ) 0.683 p( 2 x 2 ) 0.955
p( 3 x 3 ) 0.997
2
u t, dv e
t d 2 , du dt , v e
- t 2 t2 t2 2 2 2 2 D X te e dt 0 e dt 2 2
如果令
k
t
则有
x
( x E ( x ))2 exp 2 k 2 2 1
k
k
f ( x )dx dx

t2 exp 2 k 2 1
k
P ( k x k )
,
则有
D( X )

2

2

2 t e
t2 2
dt

2
2
( te
t2 2

e


t2 2
2 dt ) 2
2 2
证毕。
( k , k 内的概率 ) 3.一维正态随机变量出现在给定区间
P ( k x k )
0

由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
X EX 2 来度量随机变量相 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E 对其均值的离散程度。 X EX 2 存在，则称之为随机变量 方差定义：设X是一随机变量，若 E 的方差，记为
dt 2


1 2 d(- t ) 0 2

e
1 t2 2
te
dt 2



e
1 t2 2
dt
dt 2
E( X )
2
2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
数学期望 有甲乙两射手他们射击技术如下表： 击中环数x 8 9 10 随机量



2

2

t
2
e
t 2
2
2

f ( x )x E ( x ) dx
2 2
dt 2

2
设u t , dv e
t 2

te
t2 2
t2 d（- ) 2 ve
t2 2
d(
uv dx uv vudx
即
t ), 2
du dt ,
二、偶然误差的统计规律
1. 统计表
在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，
由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180°，根据（2-21）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：
i L1 L2 L3 i 180




e
1 t2 2
dt
2
D X 2
2 D ( x ) E x E ( x ) f ( x ) x E ( x ) dx 推导 2 2


作变量代换，令
t
x

2
,
dx dt