∂f ∂x 1 0 ∂f = ∂x 2 0 M ∂f ∂x n 0
1)求函数的全微分，并计算系数的值； 2)计算函数的方差,并代之以中误差的形式。
2 x
1 算术中数的精度比观测值的精度提高了 倍 n
m mx = n
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差
mx =
m n
mx =
m n
提高算术中数精度的关键是提高观测值的精 而不能单纯的依靠增加观测次数！ 度，而不能单纯的依靠增加观测次数！
3、水准测量的精度
标尺 标尺
h=a−b
读数 a 仪器 S1 A B
σ z2 = ∑ σ i2
i =1 n
mz = k m x
m z2 = ∑ m i2
i =1 n
四、随机向量间协方差阵的关系
1、方差－协方差矩阵传播
y1 y Y = 2 m ×1 M ym x1 x X = 2 n×1 M xn
α1 α2
，
m = ∑m
2 z i =1
n
2 i
A
B
α3
得
2 2 2 2 m A = mα 2 + mα1 = 2mα
m A = 2mα
m A = 2 × ( ± 2.5") = ± 3.5"
Example 3
例3：用线段比较法求航高时，设地面点 A、B 用线段比较法求航高时， 间的距离为 L ，其 间
n
n
m i2 0

（2）线性函数
z = k1 x1 + k2 x2 + ... + kn xn
（3）倍数函数
σ = ∑k σ
2 z i =1 2 i
n
2 i
m = ∑ k i2 m i2
2 z i =1
z = kx
（4）和差函数 z = x1 ± x2 ± LL ± xn
σz = k σx
mL 中误差为
的距离为 ml 式
，量得 A、B f ，其中误差为
两点在相片上的象点l a、b
常数）， ），试求由公 ，摄影主焦距为 = f（常数），试求由公 H
L l
计算航高的中误差。 计算航高的中误差。
L H= f 解： 函数关系式： l 真误差关系式 dH = f dL − fL dl l l2 f fL ∆H = ∆L − 2 ∆l l l f 2 2 fL 2 2 2 得 m H = ( ) m L + ( − 2 ) ml l l
1、三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
W W W W W W W
W
W
m?
W W
W
W
W
[1] 已知三角形闭合差 1，W2，…，Wn 已知三角形闭合差W [2] 已知角度测量独立等精度，各角测量精度为 已知角度测量独立等精度，各角测量精度为m
1、三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
观测值：三角网中的三角形内角（独立），中误差 观测值：三角网中的三角形内角（独立），中误差m ），中误差 [1]由闭合差公式可计算 个 由闭合差公式可计算n个 由闭合差公式可计算 三角形的闭合差： 三角形的闭合差： 应用误差传播定律
复习
4. 观测值函数的方差与中误差 设观测值为 x 1 , x 2 , L , x n ，z 是观测值的函数
z = f ( x1 , x2 ,L , xn )
KTΣ X K σ =
2 z
m z2 = K T M X K
具体计算步骤：
k1 k K = 2 M k n
W1 , W 2 , LL , W n
闭合差为真误差，其中误差 闭合差为真误差，
m = m + m + m = 3m
2 W 2 A 2 B 2 C
2
mW = ±
[WW ]
n
得到
m=
mW 3
[3]联立闭合差中误差公式，得到 联立闭合差中误差公式， 联立闭合差中误差公式
[2]闭合差计算函数式 闭合差计算函数式
B
A
3、水准测量的精度
m h = nm
水准测量观测高差的中误差， 水准测量观测高差的中误差， 与测站数的平方根成正比。 与测站数的平方根成正比。
z = k1 x1 + k2 x2 + ... + kn xn
（3）倍数函数
σ = ∑ ki2σ i2
2 z i =1
n
z = kx
（4）和差函数 z = x1 ± x2 ± LL ± xn
σz = k σx
σ z2 = ∑ σ i2
i =1 n
2 σ x1 0 ΣX = L 0
误差理论与测量平差基础
Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment
复习
1. 精度估计标准——相对误差、极限误差 2. 误差传播定律 3. 观测值真误差与其函数真误差的关系式 设观测值为 x 1 , x 2 , L , x n ，z 是观测值的函数
mx =
m n
Example 5
（）v i 的中误差 2
1 1 1 v1 = L1 + L2 +L+ Ln − L1 n n n 1− n 1 1 = L1 + L2 +L+ Ln n n n
(1) x 的中误差
1 1 1 x = L1 + L2 + L+ Ln n n n 1 2 1 2 1 2 2 mx = 2 m + 2 m +L+ 2 m n n n
Wi = Ai + Bi + C i −180o
m=±
[WW ]
3n
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差 L 设对某量 x等精度观测了n 次，得观测值为 L1，L2， ，Ln
中误差均为 m ，由此得算术中数 1 x = （L1 + L2 + LL + Ln） n
1 2 1 2 1 2 1 2 m = 2 m + 2 m +LL+ 2 m = m n n n n
dU ∆U = ∆ X = A∆ X dX 0
线性化后，真误差形式为
dV ∆V = ∆ Y = B∆ Y dY 0
由协方差阵定义 于是
T T T Σ UV = E ( ∆U ∆V ) = E ( A∆X ∆Y BT ) = AE ( ∆X ∆Y )BT
Σ UV = AΣ XY BT
b
l
a
f
H
A
L
B
注意：本例的两个距离值是独立的
C
A
B
解：
得：
Example 5
（）v i 的中误差 2
2 2 mv2i = m x − m i2 mv2i = m x + m i2
(1) x 的中误差
1 1 1 x = L1 + L2 + L+ Ln n n n 1 2 1 2 1 2 2 mx = 2 m + 2 m +L+ 2 m n n n
如果有
是
的函数
可写成 对应真误差的关系
Y = AX + A0
∆Y = Y − E (Y )
依方差定义
= AX + A0 − E ( AX + A0 ) = A( X − E ( X )) = A∆X
T T T Σ Y = E (∆Y ∆Y ) = E ( A∆X ∆X AT ) = AE ( ∆X ∆X ) AT = AΣ X AT
四、随机向量间协方差阵的关系
1、方差－协方差矩阵传播
y1 ( x1 , x 2 , L, x n ) y ( x , x ,L, x ) n Y = 2 1 2 M ym ( x1 , x 2 , L, x n )
非线性函数：
线性函数形式
求向量的微分 真误差的线性形式 传播形式 对应中误差的形式
四、随机向量间协方差阵的关系
2、向量间协方差矩阵传播 设
x1 y1 f1 ( x1 , x2 ,L, xn ) ϕ1 ( y1, y2 ,L, ym ) x y f ( x , x ,L, x ) ϕ ( y , y ,L, y ) 2 2 2 1 2 n m X = Y = U = V = 2 1 2 n×1 M m×1 M M M xn ym f s ( x1 , x2 ,L, xn ) ϕt ( y1, y2 ,L, ym )
z = f ( x1 , x2 ,L , xn )
∂f ∂f ∂f ∆ z = x ∆ x1 + x ∆x2 +L+ x ∆xn ∂ 1 0 ∂ 2 0 ∂ n 0
df ∆z = ∆X dX 0 具体计算步骤： 1)求函数的全微分； 2)将函数的微分和观测值的微分都换成真误差。
(1− n)2 2 1 2 1 2 2 mv1 = 2 m + 2 m +L+ 2 m n n n (1− n)2 + n −1 2 (n−1)n 2 2 mv1 = m = m 2 2 n n
n −1 mvi = m n
mx =
m n
§1.7 误差传播律在测量中的应用
1、三角形闭合差计算测角中误差 2、算术中数中误差计算 3、水准测量的精度 4、三角高程测量精度 5、若干独立误差的联合影响 6、限差的确定