结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第 4章
3.4 静定拱的组成及受力特征
一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构。 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构 或推力结构。 二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。
第 4章
a1 y FAH A xK FAV P1 b1
2、弯矩计算—内侧纤维受拉为正φ
b2 P2
P1
a2 K φK yK
MK [ FAV xK P1 ( xK a1 )] FH yK
0 M0 F K AV xK P 1 (xK a1 )
f
x
B
FBH
MK M0 K FH yK
FNK FS0 φK FH cosφK （3-5） K sin
FAV0
FSK
0
q=2kN .m y
2 1 0 3 4 5
P=8kN
6 7 8 B
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
f=4m FH 7.5kN FBV 9kN
2 y2 x
7.5kN
A
4f y 2 x l x l 制内力图。
M
C
0:
FNAB
l FBV P3 lcF 2
f
0 MC f
l/2
（3）计算各截面内力 0 FBV 依截面法或拱的计算公式，可求得 任意截面的内力。
第 4章
三、三铰拱的合理拱轴线 1、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
F
X
0:
C
FAH FBH FH
M
B
FBV0
FAH
0=
0
P1 A
FAV0
K
C
P2
xK
相应简支梁
FAV l1 P FH f 0 FH 1(l1 a1 )水平推力 只与三个铰的 1 FH [ FAV l1 P1 (l1 位置有关，而 a 1 )] f 与拱轴的形状 0 MC FAV l1 P 1 (l1 a 1) 无关，与拱的 0 高跨比有关。 MC （3-2） FH f
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
0.375
7 B 8
6
P=8kN
0.000
FS 图 (kN)
M图 (kN.m)
FN 图 (kN)
第 4章
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （ a）
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
0
FAy
ql 2 2
研究AC
M
C
q
M（x）
ql 2 FH 8f
任一截面的弯矩 ：
y
ql ql 2 qx2 M x x y 0 2 8f 2
ql2/(8f)
A x
整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
ql/2
y
4f l x x 2 l
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
合理拱轴线方程为
O
0 FN (FN dFN ) 0
（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达
式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。
第 4章
2、例题2
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 MC F , FBV F , FR FAV h 0 AV 0 BV
0 MC cos FH FR f
0 FAV FAV FH tan
（ b）
0 FBV FBV FH tan
第 4章
补充题1：试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。
（4）构造复杂，施工费用高。第 4章源自三、拱的种类：三铰拱
两铰拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
折线型拱
四、拱各部分的名称：
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
第 4章
五、拱与曲梁的区别
P C FAx A FAy B FBy FBx FAx=0 A FAy P
B FB
拱结构
曲梁结构
3.2 三铰拱的内力计算
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 FH 7.5kN f 4
M2 M2 FH y2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
0 MC ql 2 推力H为： FH f 8f
l/2
令：MK M0 K FH yK 0 可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
q
A x ql/2 l
ql/2
1 qx( l x ) M 4f 2 y (l x ) x ql 2 FH l2 8f
0
第 4章
解法2：
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
AV BV 1 2
1、支座反力计算 1 F (P b P2b2 ) M B 0 AV l 1 1 M 0 F 1 (P a P a ) A BV 1 1 2 2 l 0 F F A V Ay （3-1） 0 FBV FBy
PP
P2 E
1
C f 拉杆
lCF
P3
FCH
F 1 B FBV
1 C
FCV
P3
F
解： （1）计算支座反力
FH 0
B
0 FAV FA V
0 FBV FB V
FH
A FAV
D
FNAB
l/2
1
l/2
l/2
FBV
l
（2）计算拉杆轴力 作1-1截面，研究其右半部
P1 A D E
0 FAV
P2 C
P3 B F l/2 l
FN 2 FS 2 sin 2 FH cos 2 11 2 3 0.555

7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
第 4章
四、三铰拱计算公式的建立
a1 a2 y FAH A P1 xK b1 b2
φK
K yK
C
P2
f
B
FBH
x 请问:有水平荷载 , F l 或铰 Cl 不在顶部 ,F 或 l 是斜拱 ,右边的结论 三铰拱计算简图 还是正确的吗?
0
P1 A
FAV0
K
K
C
P2 B
0 BV

FSK FS0 φK FH sin φK （3-4） K cos
x 三铰拱的内力与荷 F 载及三个铰的位置有关， P 0 MK 与拱轴线形状有关；
1
4、轴力计算—使截面受压为正
FNK FAV sinφK P1sinφK FH cosφK ( FAV P1 )sin φK FH cosφK 0 FS0 K FAV P 1 FAy P 1
4 4 2 3 1 12 12
FS 2 FS 2 cos 2 FH sin 2 11 2 3 0.832

0.667
7.5 0.555 0.0025 kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
（3-3）
K
MK F NK FSK
FBV
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FH sinφK
F 左为正，右为负 Ax A FAy FAH
0=
( FAV P1 )cosφK FH sinφK
0 FS0 F K AV P 1 FAy P 1
FN =常数
可得 dFN 0 沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
2 FN sin

FN q
d qd 0 2 d d sin 2 2
计算反力并绘
x2=3m FAV 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力