1 1 即 的最小值为 4 x y
2
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陟乃赋
1 1 （4）已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
正解： 1 1 2 x y 2 x y
x y
x
y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
“1”代换法
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取 “ =” 成立的诸条件是否相容。
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正 数的和与两正数的积之间的大小关系, 运 用该不等式可作和与积之间的不等变换.
二、公式的拓展
a b 2ab(a, b R)
2 2
2(a b ) (a b)
2 2
2
(a b) 4ab
2
2ab ab
ab

ab a b 2 2
S （定值），
一正二 定三相 等
和定积最大 积定和最小
1 （ 3） 已知 0 x ，求函数 y x(1 3x) 的最大值； 3
创造条件
（4）已知
x, y 是正数，满足 2 x y 1
求
，
1 1 x y
的最小值；
注意取等号的条件
1 （3 ）已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成 2+x， y=-3x 分析一、 原函数式可化为： 定值 利用二次函数求某一区间的最值

1 1 1 1 又 a 2b 1, a b , 2 6. 1 3 a b 9
正确解法一 “1”代换法
1 1 （5）已知正数a、b满足a+2b=1，求 的最小值 a b 正解： 1 1 a 2b a 2b
1 求证： ab bc ca 3
证明： a b c
a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
(a b c)
2
1
1 2 2 a b 2ab 2 2 b c 2bc 2 2 c a 2ca
a b c ab bc ca
2 2 2
1 a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
3ab 3bc 3ca
1 ab bc ca 3
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ∵
△ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值）， 求 xy 的最大值； （2） 已知 x, y 是正数， xy 求 x y 的最小值；

1 1 1.已知a，b R ，且a 2b 1，求 的最小值. a b

1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2. ab a b
1 1 已知a，b R ，且a 2b 1，求 的最小值. a b 1 1 1 解法三： 2 ，当且仅当a b时" "成立, a b ab
6
1 max= 12
1 1 （4）已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
解：1 2x y 2 2xy
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
少 小 不 学 来海 徒无 伤 悲 书 山 路 勤习，老 为 径，学 崖 苦作舟 成功 =有 艰苦的劳动 +正确的方法 + 少谈空话
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习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式
a b 2ab(a, b R)
2 2
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
ab ab 2
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x
（5）错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
1 1 解法一： a, b R , a 2， 2b 2 2 a b 1 1 1 1 ( a 2b) ( ) 2 2 2 , 2 2 1 a b a b 1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , (a 2b)( ) a b a b
( a, b R )


ab
ab 2 ( ) 2
代数意义：
ab 如果把 看做是两正数a、b 2 的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的
等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两
个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
a
b
结构特点： 均值不等式的左式为和结
2
2
当且仅当a=b时“=”成立
(a, b R )

三、公式的应用（一）—证明不等式
（以下各式中的字母都表示正数）
（ 1）
(a b)(b c)(c a) 8abc
（2） 已知
a b c 1
1 1 1 求证 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
3。已知: a b c 1