专题3、圆锥曲线与垂心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的垂心：三角形三条高线的交点（1）、H 是ABC ∆的垂心0HA BC HB AC HC AB ⇔⋅=⋅=⋅=。

（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。

经典例题：例1．（2020·浙江高三）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）A B C D例2．（2020.江苏省高三期中）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过点2F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则坐标原点O 可能为1ABF ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心例3、（山东高考理）平面直角坐标系xoy 中，双曲线C 1:22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点O ,A ,B ，若OAB ∆的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 .例4、（2020年福建省高三联考16题）已知：椭圆22184x y +=的右焦点为,F M 为上顶点，O 为坐标原点，直线l 交椭圆于,P Q 两点，当F 为PQM ∆的垂心时，则PQM ∆的面积为 .例5、已知点()1,0Q 在椭圆C ：2212y x +=上， 过点()0P m ，作直线交椭圆C 于点,,A B ABQ ∆的垂心为T ，若垂心T 在y 轴上.则实数m 的取值范围是 .例6、（2020年浙江省绍兴市期末15题）已知椭圆2212x y +=的上顶点为M ，直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，且点(1,0)恰为PQM 的垂心，则直线l 的方程为______ .例7、（2020.辽宁省高三期末）已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ∆的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．3例8、（2019云南省曲靖二中模拟16题）已知ABO 内接于抛物线24y x =，其中O 为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则ABO 的外接圆方程为_____.例9、（2018年福建预赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭．则椭圆C 的方程为 ；例10．（2020.成都市高三期中）若△OAB 的垂心恰是抛物线y 2=4x 的焦点，其中O 是原点，A 、B 在抛物线上，则△OAB 的面积S =____________ .例11．如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线y ＝2上运动，过点B 作圆O 的切线，切点为C ，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程为 ．例12．平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>的两条渐近线与抛物线C ：2x 2py(p 0)=>交于O ，A ，B 三点，若OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为( )A B ．32C ．2D ．52课后训练：1．（2020·浙江高三月考）若曲线C ：y 2=4x ．上一点A(x 0,4)，是否存在直线m 与抛物线C 相交于两不同的点B,C ，使ΔABC 的垂心为H(8,0)．则直线m 的方程为 ．2．双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ）A ．2B ．3C D3．已知双曲线1C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于点O 、A 、B ，若OAB ∆的垂心为抛物线2C 的焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32B ．2C D ．4．（2020·武邑高三（理））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B C D5．（2019·浙江高三期末）已知点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C x y =上，点F 是抛物线C 的焦点，线段AB 的中点为N .若点M 的坐标为()1,1-，且F 是ABM ∆的垂心，则直线AB 的方程 ；6．如图，已知直线: 2l x my m =++与抛物线2y x =相交于两点,A B ，1,1C ，且AC BC ⊥.设动点P 满足PAB △的垂心恰好是()1,0E ，记点C 到直线AB 距离为d ，若1d PE ⋅=，求实数m 的值.7．已知点()P 1,2是抛物线2y 4x =上的一点，过点P 作两条直线1l 与2l ，分别与抛物线相交于异于点P 的,A B 两点．若直线AB 的斜率为1且PAB 的垂心H 在x 轴上，则直线AB 的方程 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)P，且点P 与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为12-.若椭圆C 上存在两点,Q R ，使得PQR 的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点O ，则直线QR 的方程 .9．（2020·江西高三（理））已知抛物线E ：22y x =．若直线AB 是经过定点(2,0)Q 的一条直线，且与抛物线E 交于A ，B 两点，过定点Q 作AB 的垂心与抛物线交于G ，D 两点，则四边形AGBD 面积的最小值 ．10．已知,A B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限.记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的垂心到x 轴的距离为______．11．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，且点(双曲线上，则双曲线的方程为： 。

12．双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ）A ．2B ．3C D13．已知椭圆C :2212x y +=．直线l 与椭圆C 交于M N ，两点．若椭圆C 的右焦点F 恰好为BMN △的垂心，则直线l 的方程为 ．14．（2019河北省邯郸市一模16题）已知,A B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限.记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的垂心到x 轴的距离为______．15． 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0),B (0，4)，若其欧拉线方程为x -y+2=0，则顶点C 的坐标是 ．16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________17．设抛物线C ：（）的焦点为F ，已知P ，Q ，T 为抛物线C 上三个动点，且满足F 为的重心，三边，，的中点分别为，，，分别过，，作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为，，，若，则（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．618．已知椭圆2212x y +=的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点.使得点F 是BMN 的垂心.则直线l 的方程为 .22y px =0p >PQT∆PQT ∆PQ PT TQ 1M 2M 3M 1M 2M 3M 1N 2N 3N 11223312M N M N M N ++=p =。