§1 .2 标量场的梯度
1 场的概念
在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的， 在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区 域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电 流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该 场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如 果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上 看，场是定义在空间区域上的函数。
矢量的乘积包括标量积和矢量积。 B
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
θ
(Scalar Product) 是一个标
量，它等于两个矢量的大小
Bcos θ
A
与它们夹角的余弦之乘积，
记为
A·B=ABcosθ
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积是一 个矢量，矢量积的大小等于两个 矢量的大小与它们夹角的正弦之 乘积，其方向垂直于矢量A与B组 成的平面，记为 C=A×B=enAB sinθ en=eA×eB （右手螺旋）
�� �� ���
���
���
A + B = ex (Ax + Bx ) + ey (Ay + By ) + ez (Az +Bz )
�� �� ��
�ey (Ay − By ) + ez (Az − Bz )
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量的乘积
3 方向导数
设一个标量函数场u(x, y, z)在P点可微,则u在P点沿
任意� 方向的方向导数为 ∂u / ∂l 。它的值与所选取的方
向 l 有关, 若
� l
=
x�
cosα
+
y�
cos
β
+
z�
cos
γ
则
∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
∂l ∂x
∂y
∂z
(cosα,cosβ ,cosγ ) 为l 的方向余弦。
ax O
X
Y ay y
x
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
4 梯度
在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小 （方向导数）是不同的，必然存在一个变化最大的 方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方 向，其数值为标量场的梯度值。
| gradu
=
� n
∂u ∂l
max
=
� ex
∂u ∂x
� + ey
∂u ∂y
� + ez
∂u ∂z
u(x, y,z) = C
导体等电位面
§1 .2 标量场的梯度
3 方向导数
在实际应用中不仅需要 宏观上了解场在空间的 数值，还需要知道场在 不同方向上场变化的情 况。应用方向性导数可 以描述标量场在空间某 个方向上变化的情况。
M（r＋ΔL） M（r）
�
方向导数表示场沿 ∆l 方向 的空间变化率。
§1 .2 标量场的梯度
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的 方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值 表示变化最大方向上场的空间变化率。 2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度 在该方向上的投影。 3）标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联 系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数 来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
可以表示成
�� A = Ae
其中，
A是矢量
� A的大小;
e� 代表矢量
� A的方向。
�� e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量ex、ey、ez表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
§1 .1 矢量及其代数运算
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零 的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平 行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A×B= -B×A
A×(B+C)=A×B+A×C
§1 .1 矢量及其代数运算
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
空 间 的 一 点 P(X,Y,Z) 能 够 由 它在三个相互垂直的轴线上 的投影唯一地确定。从原点 指向点P的矢量r称为位置矢 量 (Position Vector) ， 它 在直角坐标系中表示为
r=exX+eyY+ezZ
z
Z
P(X, Y, Z) r az
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex×ey=ez, ey×ez=ex, ez×ex=ey ex×ex=ey×ey=ez×ez= 0
在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 ex ey ez
A×B = Ax Ay Az Bx By Bz
=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)
§1 .2 标量场的梯度
1 场的概念
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z) F(x,y,z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
u(x,y,z，t) F(x, y,z,t)
§1 .2 标量场的梯度
2 标量场的等值面
为了直观表示场在空 间的变化，经常使用 场的等值面来直观。 所谓等值面是标量场 为同一数值各点在空 间形成的曲面。
矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍
是矢量
�� ��� ��� ���
A
��
=
�e��x A x
+ �e��y A y
+�e��z A z
B = exBx + eyBy + ezBz
第一章 矢量分析
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量
（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物
理量称为标量，例如电压、温度、时间、质量、电荷等。实际
上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢
量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A