A(BC) (AC)B (A B)C
—— 矢量三重积
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1. 标量场的等值面
等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u(x, y, z) C
A B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律
B
交换律 A B B A
B
A
AB
结合律 A (B C) (A B) C
矢量的减法
（2）标量乘矢量
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
Ax A cos
Ay A cos
Az A cos
A A(ex cos ey cos ez cos )
eA ex cos ey cos ez cos
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
eA A
eA
A
A
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az
e sin
cos
0
y
e
ey
e
ex
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 q 如果物理量是标量，称该场为标量场。
e , e , ez
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz
e ddz
dS
e dl dlz
e ddz
dSz ezdldl ez dd
体积元
dV dddz
圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系
坐标变量
r,,
A B AB
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( AxBy Ay Bx )
写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量 线元矢量
r err
dl erdr e rd ersind
面元矢量
dSr
er dl dl
er
r
2sindd
dS
e dlrdl
ezrsindrd
dS edlrdl erdrd
球坐标系
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
r ex x ey y ez z
线元矢量
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dS y eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
例如：温度场、电位场、高度场等。
q 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
q 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z,t)、 F(x, y, z,t)
第一章矢量分析
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
若AABB，B 则A
A
B
AB
若 A // B ，则 A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
（5）矢量的混合运算
(A B) C AC B C —— 分配律
(A B)C AC BC —— 分配律
A(BC) B (C A) C (A B) —— 标量三重积
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dSzezdxdy
dz
dSyeydxdz
o
dy
dx dSxexdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积
,, z
坐标单位矢量
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与
e
ex
cos
圆柱坐标系 e sin
ez
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0
1
ez 0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er e
ex
ey
ez
sincos sinsin cos
cosin cossin sin
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
A B B A ——矢量的标积符合交换律
B A
矢量 A与 B 的夹角
AB
A B 0 A// B
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1