2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（）A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，釆用全面调查方式C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（）A．120°B．100°C．140°D．150°6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（）A．14B．10C．9D．87．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定10．（3分）若不等式组的解为x＜8，则m的取值范围是（）A．m≥8B．m≤8C．m＜8D．m＞811．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A 型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD ＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）代数式+2的最小值是．14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝cm．15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是．三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．（1）求∠C的度数；（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数为．20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．抽职的部分学生测试成绩的频数分布表成绩a（分）频数（人）百分比50≤a＜601010%60≤a＜7015n70≤a＜80m20%80≤a＜904040%90≤a≤1001515%由图表中给出的信息回答下列问题：（1）频数分布表中，m＝，n＝．本次抽样调查的样本容量是．（2）补全频数分布直方图．（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）（2）求k的取值范围；（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．（1）若AE＝3，求DE的长度；（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离为3”，写出满足条件的B点的坐标．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值．（3）已知C点坐标为C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN ⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的关系．2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；是循环小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数．无理数有：，共2个．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．【解答】解：A．（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；B．（﹣2，1）在第二象限，故本选项不合题意；C．（2，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意；D．（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意．故选：D．3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（）A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，釆用全面调查方式C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式，符合题意；B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，适合釆用抽样调查方式，不符合题意；C．了解乌市居民日平均用水量，采用抽样调查方式，不符合题意；D．旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，不符合题意；故选：A．4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【解答】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（）A．120°B．100°C．140°D．150°【分析】利用多边形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：因为五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，4个内角都是100°，所以第5个内角的度数是540°﹣100°×4＝140°．故选：C．6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（）A．14B．10C．9D．8【分析】把代入方程组，求出a、b的值，再求出a+b即可．【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴代入得：，解得：a＝12，b＝2，∴a+b＝12+2＝14，故选：A．7．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵a+c＜b+c，∴两边减去c得：a＜b，故本选项不符合题意；B、∵a＞b，∴ac2≥bc2（当c＝0时，ac2＝bc2），故本选项不符合题意；C、∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故本选项符合题意；D、＞，当c＞0时，a＞b；当c＜0时，a＜b；故本选项不符合题意；故选：C．8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．10．（3分）若不等式组的解为x＜8，则m的取值范围是（）A．m≥8B．m≤8C．m＜8D．m＞8【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同小取小并结合不等式组的解集可得m的范围．【解答】解：解不等式x+2＞2x﹣6，得：x＜8，∵不等式组的解集为x＜8，∴m≥8，故选：A．11．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用用4800元购进A，B口罩共160件，分别得出等式组成方程组即可．【解答】解：设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组得：．故选：B．12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD ＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①在AE取点F，使EF＝BE．利用已知条件AB＝AD+2BE，可得AD＝AF，进而证出2AE＝AB+AD；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC＝∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB＝180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD＝CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF＝CB，从而CD＝CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC错误．【解答】解：①在AE取点F，使EF＝BE，∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，∴AE＝（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠F AC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④错误；即正确的有3个，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）代数式+2的最小值是2．【分析】根据算术平方根恒大于等于0，即可确定出最小值．【解答】解：∵≥0，∴+2≥2，即的最小值是2．故答案为：2．14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝10cm．【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE 的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE＝BE，又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC﹣AB＝2cm，即AC﹣8＝2cm，∴AC＝10cm，故答案为：10；15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为﹣1或0．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，∴解得：﹣2＜m＜，∵点的横、纵坐标均为整数，∴m是整数，∴m的值为﹣1或0．故答案为：﹣1或0．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣12020+++|﹣2|＝﹣1+（﹣3）+2+2﹣＝﹣．18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，在数轴上表示出来以后写出其整数解．【解答】解：，解①得x＞﹣1.5，解②得x≤4，故不等式组的解集是：﹣1.5＜x≤4．不等式组的解集在数轴上表示为：故该不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3．19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．（1）求∠C的度数；（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数为50°或90°．【分析】（1）利用角平分线的性质可得∠DBC＝30°，由外角的性质可得结果；（2）利用分类讨论思想：如图1，则∠CDE＝90°；如图2，当∠CED＝90°时，则∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°∴∠DBC＝∠ABC＝30°，又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；（2）情况一，如图1，则∠CDE＝90°；情况二：如图2，当∠CED＝90°时，∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，故答案为：50°或90°．20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．抽职的部分学生测试成绩的频数分布表成绩a（分）频数（人）百分比50≤a＜601010%60≤a＜7015n70≤a＜80m20%80≤a＜904040%90≤a≤1001515%由图表中给出的信息回答下列问题：（1）频数分布表中，m＝20，n＝15%．本次抽样调查的样本容量是100．（2）补全频数分布直方图．（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．【分析】（1）根据50≤a＜60这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以得到成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．【解答】解：（1）随机抽取的学生总人数为：10÷10%＝100，m＝100×20%＝20，n＝15÷100×100%＝15%，故答案为：20，15%，100；（2）由（1）知，m＝20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）40%+15%＝55%，2800×55%＝1540（人）．答：估计该校本次测试成绩优秀的学生人数为1540人．21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）（2）求k的取值范围；（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．【分析】（1）用加减法先消去y，求得x，再把x的值代入任意一个方程求得y；（2）根据原方程组的解是非负数，列出k的不等式组进行解答；（3）结合k的取值范围，确定绝对值内的代数式的正负，根据绝对值的性质进行计算．【解答】解：（1），①+②得：4x＝8k﹣4，即x＝2k﹣1③，将③代入②得：y＝﹣4k+4，则原方程组的解为：；（2）∵原方程组的解均为非负数，∴，解得：；（3）|2k+3|﹣|k﹣2|＝2k+3﹣[﹣（k﹣2）]＝2k+3+k﹣2＝3k+1．22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．（1）若AE＝3，求DE的长度；（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝DE＝3；（2）由“SAS”可证△CAF≌△EAF，可得CF＝EF，可得结论．【解答】解：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，∵AE是中线，∴CE＝BE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（ASA），∴AE＝DE＝3，∴DE的长为3；（2）∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD，∵AF平分∠DAC，∴∠CAF＝∠DAF，∵AC＝DE，AE＝DE，∴AC＝AE，在△CAF和△EAF中，，∴△CAF≌△EAF（SAS），∴CF＝EF，∴AB＝CD＝CF+DF＝EF+AF．23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37．答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）根据题意得：（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，解得：a＞35，∵a≤37，且a应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为4．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离为3”，写出满足条件的B点的坐标（3，0）、（﹣3，0）．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值2．（3）已知C点坐标为C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．【分析】（1）根据题意即可得点P与点Q的“近似距离”；（2）①设点B的坐标为（x，0）．由|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，即可得出答案；②设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），则|0﹣x|＝x，|﹣2﹣0|＝2，若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；即可得出结果；（3）求点C与点D的“近似距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则P1与P2的“近似距离”为|x1﹣x2|”，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，即|2m+1|＝|m|，解方程得m的值即可．【解答】解：（1）∵点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为4．故答案为：4；（2）①∵B为x轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（x，0）．∵A、B两点的“近似距离为3”，A（0，﹣2），∵|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，∴点B的坐标是（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝x，∴若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，故答案为：2；（3）∵C（2m+2，m），D（1，0），∴|2m+2﹣1|＝|m﹣0|＝|2m+1|，当m＞0时，m＝2m+1，解得：m＝﹣1（舍去）；当﹣＜m＜0时，﹣m＝2m+1，解得：m＝﹣；∴点C与D的“近似距离”的最小值为|m|＝；相应的C点坐标为（﹣，）；答：点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标为：，（﹣，）．25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN ⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的关系．【分析】（1）根据平行线的性质证得∠MBP＝∠ECP再根据BP＝CP，∠BPM＝∠CPE 即可得到△BPM≌△CPE，得到PM＝PE，则PM＝ME，而在Rt△MNE中，PN＝ME，即可得到PM＝PN．（2）延长MP与NC的延长线相交于点E．证明△BPM≌△CPE（ASA），推出BM＝CE，求出△MNE的面积即可解决问题．（3）分两种情形：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，分别利用三角形中位线定理，梯形中位线定理解决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE∴PM＝ME，在Rt△MNE中，∵∠MNE＝90°，PM＝PE，∴PN＝ME，∴PM＝PN．（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE＝1，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×7＝14，∴MN＝4．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG═（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．。