3 中雅培粹学校 2020 年上学期入学考试卷
初三年级 数学科目
命题人：九年级数学备课组 审题人：严 平 罗 熠
考生注意：本试卷共三道大题，26 小题，满分 120 分，时量 120 分钟
一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，共 36 分） 1．﹣2 的相反数是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣ 1
C ．2
D ． 1
2 2
2. 据国家旅游局统计，2020 年寒假全国各大景点共接待游客约为 82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法表示为（ ） A ．0.826×106
B ．8.26×107
C ．82.6×106
D ．8.26×108
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A ．8a ﹣3b ＝5ab
B ．（a 2）3＝a 5
C ．a 8÷a 4＝a 2
D ．a 2
•a＝a
3
4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ）
A ．对角线垂直且相等
B ．四边都互相垂直
C ．四个角都相等
D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形5．如图，已知 B
E 平分∠ABC，且 BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C 的度数是（ ） A ．20° B ．25° C ．30° D ．50°
6. 下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 如图，边长为2 的等边△ABC 的内切圆的半径为（
）
3.1
B ． 8. 下列说法正确的是（
）
C.2
D ． 2 A. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C ．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D ．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
9. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F ，再分别以点 B 、F 为圆心，
大于 1
BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P ；连接 AP 并延长交 BC 于点 E ，连接 EF ，则四边形 ABEF 的周
2
长为（ ）
3
3
3 3 ⎩
⎩ ⎩
1 ⎭
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 10. 如图，一架无人机航拍过程中在 C 处测得地面上 A ，B 两个目标点的俯角分别为 30°和 60°．若 A ，B 两个目标点之间的距离是 120 米，则此时无人机与目标点 A 之间的距离（即 AC 的长）为（ ） A ．120 米
B ．120 米
C ．60 米
D ． 60 米
11. 某出租车起步价所包含的路程为 0～2km ，超过 2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了 7km ，
付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 13km ，付了 28 元．设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则下列方程正确的是（ ）
⎧ x + 7 y = 16 ⎧x + (7 - 2) y = 16
⎧ x + 7 y = 16 ⎧ x + (7 - 2) y = 16
A ． ⎨
x + 13 y = 28 B ． ⎨
⎩ k
x + 13 y = 28 C ． ⎨
x + (13 - 2) y = 28 D ． ⎨
x + (13 - 2) y = 28 12. 如图，P 为反比例函数 y ＝
（k ＞0）在第一象限内图象上的一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线交一次
x
函数 y ＝﹣x ﹣4 的图象于点 A 、B ．若∠AOB ＝135°，则 k 的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，共 18 分） 13. 已知函数关系式： y = ，则自变量
x 的取值范围是
.
x +1
14. 因式分解：2a 2﹣8＝
． 15.
方程
2 x - 4 - 2 - x = 0 的解为
．
4 - x
16. 在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球．每次摸球前先将盒中的
球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2， 那么可以推算出 n 大约是 ． 17. 如图，身高为 1.8 米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AB ＝2 米，BC ＝18 米，则旗杆 CD 的高度是 米． 18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，以 EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接 CG ，则 CG 的最小值为 ．
第 12 题图
第 17 题图 第 18 题图
三、计算解答题（共 8 小题，共 66 分）
19.（本小题 6 分）计算：
+ (π- 3)0 - - - cos 60
20．（本小题 6 分）先化简，再求值:
⎛ 1
+
1 ⎫ ÷ x
，其中 x = .
⎝ x +1 x 2 -1⎪ x 2 + 2x +1 2 6
3
12
21．（本小题8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了 2013 年1 月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）统计图共统计了天的空气质量情况．
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数．
（3）从小源所在班级的 40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？
22．（本小题8分）22．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，
∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．（本小题9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于 800 元，求出每天的销售量至少应为多少件？
2 =
24.（本小题 9 分）已知二次函数y = x 2
- 4x + 3a + 2 （a 为实数），
（1） 若抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，
①已知 A （-1,0），求 B 的坐标；
②若 AB= ，求 a 的值；
（2） 若二次函数的图象在 x≤5 的部分与一次函数 y=2x-1 的图象有两个交点，求 a 的取值范围.
25.（本小题 10 分）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，
AB ＝n ，M 是 BC 上一点，连接 AM ．
BC
（1） 如图 1，若 n ＝1，N 是 AB 延长线上一点，CN 与 AM 垂直，求证：BM ＝BN ． （2） 过点 B 作 BP⊥AM，P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ．
CP BM
①如图 2，若 n ＝1，求证：
． PQ BQ
②如图 3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan ∠BPQ 的值．（用含 n 的式子表示）
26．（本小题 10 分）如图，已知二次函数 y ＝ax 2
+bx ﹣4（a ＞0）的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，（A 在 B 左侧，且 OA ＜OB ），与 y 轴交于点 C ．
（1） 求 C 点坐标，并判断 b 的正负性；
（2） 设这个二次函数的图象的对称轴与直线 AC 相交于点 D ，已知 DC ：CA ＝1：2，直线 BD 与 y 轴交于点 E ，
连接 BC ．
①若△BCE 的面积为 8，求二次函数的解析式； ②若△BCD 为锐角三角形，求出 OA 的取值范围．。