第十九章一次函数
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。
3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。
一、本章知识梳理 1.一般的若
y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）
，那么y 叫做x 的一次函数，
当b=0时，一次函数y=也叫正比例函数。
2.正比例函数kx y =（0k ≠）是一次函数的特殊形式,当=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).
3.一次函数的图像和性质：
说明：（1）与坐标轴交点（0，b ）和（-
k
，0）, b 的几何意义：_____________________ （2）增减性： >0，y 随的增大而增大；<0，y 随增大而减小.
（3）倾斜度：||越大，图象越接近于y 轴；||越小，图象越接近于轴。
（4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=的图象向上平移b 个单位可得y=+b 的图像；
当b<0时，将直线y=的图象向下平移b 个单位可得y=+b 的图
像.
4.直线b 1=1+b 1与直线y 2=2+b 2（1≠0 ，2≠0）的位置关系．
①1≠2⇔y 1与y 2相交；
②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）
； ③⎩⎨⎧≠=21
21,b b k k ⇔y 1与y 2平行；
④⎩⎨
⎧==2
121,
b b k k ⇔y 1与y 2重合.
5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法： (1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。
二、典例精析
题型一：一次函数的概念
例1.已知函数y=(m-2)3
2
-m
x
+3,当m 为何值时，y 是的一次函数？
解析：根据一次函数的定义，的次数必须为1，系数不为0，即可求出m 的值。
练习：1.已知函数y=(m-1)+m 是一次函数，求m 的范围。
2.已知函数y=(-1)+2
-1,当____________时，它是一次函数，当__________时，它是正比例函数。
答案：1.m ≠1 2. ≠1, -1
题型二：一次函数的图像与性质
例2.对于一次函数y=﹣2+4，下列结论错误的是（ ） A ． 函数值随自变量的增大而减小 B ． 函数的图象不经过第三象限
C ． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2的图象
D ． 函数的图象与轴的交点坐标是（0，4）
解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。
分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 答：选D
A ．∵一次函数y=﹣2+4中=﹣2＜0，∴函数值随的增大而减小，故本选项正确；
B ．∵一次函数y=﹣2+4中=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C ．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2的图象，故本选项正确；
D ．∵令y=0，则=2，∴函数的图象与轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 练习：1.如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
2.一次函数y=+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B （A ）y 随的增大而增大 （B ）y 随的增大而减小 （C ）图像经过原点 （D ）图像不经过第二象限
3.如果0ab >，
0a c <，则直线a c
y x b b
=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
题型三：一次函数解析式和图象的确定
例3.直线与轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到轴的距离为2，求直线的解析式。
分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定和b 的值。
解 ∵点B 到轴的距离为2， ∴点B 的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=±2,
∵直线过点A（-4，0），∴0=-4±2,
解得：=±, ∴直线AB的解析式为y=+2或y=--2.
例4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（）
A ．
B
．
C
．
D
．答：选C．
练习：
1.如图，直线AB与轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣
2）．
（1）求直线AB的解析式
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
分析：待定系数法求一次函数解析式。
本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式
解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2﹣2．（2）点C的坐标是（2，2）．
2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ D ）
A ．B
．
C
．
D
．
分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键.
题型四：一次函数的实际应用
例5.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别甲乙
进价（万元/台）10.
5
6
售价（万元/台）11.
2 6 . 8
（1
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析：（1）设购进甲款轿车辆，则购进乙款轿车（30﹣）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求的取值范围，再求正整数的值，确定方案；
（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据的取值范围求最大利润．
解：（1）设购进甲款轿车辆，则购进乙款轿车（30﹣）辆，依题意，得
228≤10.5+6（30﹣）≤240，
解得102
3
≤≤13
1
3
，∴整数=11，12，13，
有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；
购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．
（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）+（6.8﹣6）（30﹣）=﹣0.1+24，∵﹣0.1＜0，W随的减小而增大，
∴当=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，
最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．
点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．
三．师生小结
1.熟悉一次函数的一般形式，会判断一次函数。
2.一次函数的图像和性质是中考重点。
3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：一设、二列、三解、四还原。
4.会简单的一次函数应用题：（1）建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用。