函数的综合应用◆ 课前热身1．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．11x -<<或2x >C ．1x >-D ．1x <-或12x <<2．在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限3.点(13)P ，在反比例函数ky x=（0k ≠）的图象上，则k 的值是（ ）． A ．13 B ．3 C ．13- D ．3-4、如图为二次函数2y a x b x c=++的图象，给出下列说法： ①0a b <；②方程20a x b x c ++=的根为1213x x =-=，；③0abc ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<． 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）【参考答案】1. B2. D3. B4.①②④◆考点聚焦知识点一次函数与反比例函数的综合应用；一次函数与二次函数的综合应用；二次函数与图象信息类有关的实际应用问题大纲要求灵活运用函数解决实际问题考查重点及常考题型利用函数解决实际问题，常出现在解答题中◆备考兵法1.四种常见函数的图象和性质总结轴交点或，,,注意事项总结：(1)关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x 和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组 就可以了。

(2)对解析式中常数的认识：一次函数y=kx+b (k ≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)及其它形式、反比例函数y= (k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

(3)对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a ≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+ k 及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x 轴两个交点的横坐标）。

当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x 轴交点坐标时，可设“两根式”求解。

总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

(4)二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k 的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。

y=a(x-h)2+k 图象可通过y=ax2平行移动得到。

当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

2.中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．◆考点链接1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 .4．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++， ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .◆典例精析例1（重庆市江津区）如图，反比例函数xy 2=的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C 。

（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积。

解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点A 、点B 的坐标，分别把A （m ，2），B （-2，n ）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为1y x =+的值；（2）令关系式1y x =+中的x 为0求出y=1，所以C （0，1）； （3）△AOC 的面积等于12×OC ×1=12. 解：由题意：把A （m ，2），B （-2，n ）代入2y x=中得 11m n =⎧⎨=-⎩ ∴A （1，2） B （-2，-1） 将A.B 代入y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩11k b =⎧⎨=⎩ ∴一次函数解析式为：1y x =+ （2）C （0，1）（3）111122AOC S ∆=⨯⨯= 例2（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 解析：（1）利用待定系数法确定出一次函数y kx b =+的表达式；（2）利润W =每件的利润×销售件数，得W 2(90)900x =--+，根据二次函数的最值问题确定单价为90元，最大利润为900元；（3）令W=500，即25001807200x x =-+-，解得1270110x x ==，，因为6087x ≤≤，故单价定为70元. 解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，．所求一次函数的表达式为120y x =-+． （2）(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+- 2(90)900x =--+，抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大， 而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．例3（山东烟台） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【解析】（1）利润=单价×销售件数，单价为（2400-2000-x ），销售件数为(84)50x+⨯； （2）令y=4800，即22243200480025x x -++=，解方程得12100200x x ==，，老百姓要想得到实惠，所以取200x =； （3）利用二次函数的最值解决.解：（1）根据题意，得(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭，即2224320025y x x =-++． （2）由题意，得22243200480025x x -++=． 整理，得2300200000x x -+=． 解这个方程，得12100200x x ==，． 要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于2224320025y x x =-++， 当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．◆ 迎考精炼一、选择题1.（四川凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）2．（黑龙江佳木斯）若关于ｘ的一元一次方程2210nx x --=无实数根，则一次函数(1)y n x n =+-的图像不经过（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 二、填空题1．（湖北十堰）已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点C.B ，与双曲线xky =交于点A.D , 若AB+CD= BC ，则k 的值为 ．2．（内蒙古包头）如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．3．（青海）如图，函数y x =与4y x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △的面积为 ．xxxxB ．三、解答题1.（河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.2.(贵州安顺)已知一次函数(0)y kx b k =+≠和反比例函数2ky x=的图象交于点A(1，1) （1） 求两个函数的解析式；（2） 若点B 是x 轴上一点，且△AOB 是直角三角形，求B 点的坐标。