2019年小学奥数数论专题——完全平方数1．1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。

8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案)17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为 ．18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？24．记(123)(43)S n k =⨯⨯⨯⨯++，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方．25．称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ．26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即200244444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．参考答案1．7777777的平方【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=， 原式22(11111117)7777777=⨯=．2．不可能【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．3．361,400,441,484,529,576,625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4．14，20【解析】设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯， 因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．5．31【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．6．254【解析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．7．2【解析】3223528237=⨯⨯，要使3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a 为2可以使3528a 是完全平方数，故a 至少为2．8．231【解析】先将12!分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为()104212!2353711231÷⨯⨯=⨯⨯=．本题也可以这样想，既然12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=．9．15【解析】设这32个数的乘积为A ．所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外，由于16!1615!=⨯，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意．10．424【解析】设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．11．不可能【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为 ()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．12．12、8、2【解析】设这三个数从大到小分别为2A 、2B 、2C ，那么有()()80A B A B +-=，()()140A C A C +-=，因为1402257=⨯⨯⨯，A C +、A C -同奇同偶，所以有14A C +=，10A C -=或70A C +=，2A C -=，分别解得12A =，2C =和36A =，34C =，对于后者没有满足条件的B ，所以A 只能等于12，2C =，继而求得8B =，所以这三个数分别为12、8、2．13．1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =，2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 即2a 至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．14．152024235⨯⨯【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235a b c ⨯⨯，由于它乘以2以后是完全平方数，即1235a b c +⨯⨯是完全平方数，则(1)a +、b 、c 都是2的倍数；同理可知a 、(1)b +、c 是3的倍数，a 、b 、(1)c +是5的倍数．所以，a 是3和5的倍数，且除以2余1；b 是2和5的倍数，且除以3余2；c 是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a 、b 、c 的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为152024235⨯⨯．15．85【解析】设这两个完全平方数分别是2A 和2B ，且2277A B -=，则两个完全平方数的和可以表示为2772B +，所以B 越大，平方和越大，B 越小，平方和越小，而()()77A B A B +-=，77711177=⨯=⨯，当77A B +=，1A B -=时，B 取得最大值38，此时两个完全平方数的和最大，为2965；当11A B +=，7A B -=时，B 取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．16．18、32,43、57,68、82【解析】设这两个两位数中较小的那个为n ，则另外一个为14n +，由题知，22(14)100n n k +-= (k 为正整数)，即()7725n k +=，由于()7,251=，所以()257n +，由于n 与14n +均为两位数，所以17792n ≤+≤，故7n +可能为25、50或者75，n 可能为18、43或者68．经检验，18n =、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．17．145【解析】如果把B 放在A 的左边，得到的五位数为100601B A A +=；如果把B 放在A 的右边，得到的五位数为10001006A B A +=；这两个数的差为1006601405A A A -=，是一个完全平方数，而240595=⨯，所以A 是5与一个完全平方数的乘积．A 又是一个两位数，所以可以为252⨯、253⨯、254⨯，A 的所有可能取值之和为222525354145⨯+⨯+⨯=． 18．3163和8368 【解析】本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B 为1或3，6C =．由于CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A 为3或8．那么AB 可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．19．1156 【解析】设这个四位数为2abcd m =①，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故由②-①得：233333()()n m n m n m =-=-+③将3333分解质因数，有3333311101=⨯⨯，其有()()()1111118+⨯+⨯+=个约数，但是有n m n m +>-，所以只有4种可能，即333313333311111130333101=⨯=⨯=⨯=⨯． 由于21000m abcd =≥，故30m >，所以()()260n m n m m +--=>； 又2(3)(3)(3)(3)10000n a b c d =++++<，所以100n <，故()()2200n m n m n ++-=<；一一检验，只有33101⨯满足1013360->且10133200+<，所以101n m +=，33n m -=，得34m =，原来的四位数为2341156=．20．1444【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．21．见解析【解析】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方2n 被4除余0或1．假设存在四个正整数1234n n n n 、、、，使得22002(1234)i j n n m i j i j +==≠，，，，，．又2002被4除余2，故i j n n 被4除余2或3．若1234n n n n 、、、中有两个偶数，如12n n 、是偶数，那么12n n 是4的倍数，2002i j n n +被4除余2，，所以不可能是完全平方数；因此1234n n n n 、、、中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设123n n n 、、为奇数，4n 为偶数，那么123n n n 、、被4除余1或3，所以123n n n 、、中至少有两个数余数相同．如12n n 、被4除余数相同，同为1或3，那么12n n 被4除余1，所以122002n n +被4除余3，不是完全平方数；综上，2002i j n n +不可能全是完全平方数．22．略【解析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数． 23．60【解析】60345=⨯⨯是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续 正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60． 24．8【解析】一个平方数除以4的余数是0或1．当4n ≥时，S 除以4余3，所以S 不是平方数；当3n =时，49S k =+，当k 在1至100之间时，S 在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：25，27，29，211，213，215，217，219，其中每1个平方数对应1个k ，所以答案为8． 25．1225【解析】依题有2123k a ++++=，即2(1)2k k a +÷=．因为k 与1k +是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数22a ⨯=相邻偶数．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“2相邻偶数”也互质，于是奇数2m =，22n =相邻偶数 (a m n =⨯)，而2a 为四位数，有3299a ≤≤，即3299m n ≤⨯≤，又2m 与22n 相邻，有712m ≤≤．当7m =时，249m =，相邻偶数为50时，5n =满足条件，这时22(75)1225a =⨯=，即1225N =； 当9m =时，281m =，相邻偶数为80和82都不满足条件；当11m =时，2121m =，相邻偶数为120和122都不满足条件．所以，1225N =．26．0【解析】1到3的平方是一位数，占去3个位置；4到9的平方是二位数，占去12个位置；10到31的平方是三位数，占去66个位置；32到99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置． 从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．因为2595154=⨯+，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而151********⨯=，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0．27．不是【解析】2200242002444421111A ==⨯个个1．如果A 是某个自然数的平方，则20021111个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数， 而200220011111111110-=个1个1不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．。