2020年安徽省合肥四十六中南校区中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共10小题）1．﹣3的倒数是（）A．﹣3B．3C ．﹣D ．2．下面计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．3a2﹣a2＝2C．4a6÷2a3＝2a2D．（a2）3＝a53．下列多项式中，不能因式分解的是（）A．a2+1B．a2﹣6a+9C．a2+5a D．a2﹣14．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④5．某企业今年2月份产值为a万元，3月份比2月份增加了15%，4月份比3月份减少了5%，则4月份的产值为（）A．（a+15%）（a﹣15%）万元B．a（1+85%）（1﹣95%）万元C．a（1+15%）（1﹣5%）万元D．a（1+15%﹣5%）万元6．不等式组的解集为（）A．x≤1B．x＞﹣2C．﹣2＜x≤1D．无解7．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：甲乙丙丁11.111.110.910.9平均数（米）方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图，直线x＝t与反比例函数y＝，y＝﹣的图象交于点A，B，直线y＝2t与反比例y＝，y＝的图象交于点C，D，其中常数t，k均大于0．点P，Q分别是x轴、y 轴上任意点，若S△PCD＝S1，S△ABQ＝S2．则下列结论正确的是（）A．S1＝2t B．S2＝4k C．S1＝2S2D．S1＝S29．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD＝2：1，点G在DE上，DG：GE＝1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）A．1：1B．4：3C．3：2D．2：310．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．10D．15二．填空题（共4小题）11．“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是．13．如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD＝4，则阴影部分的面积为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣2，3），（3，2），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是．三．解答题（共9小题）15．计算：（﹣1）2018+|1﹣|﹣2sin45°．16．《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作，约成书于四、五世纪，现在传本《孙子算经》共三卷．卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”，请解答上述问题．17．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，求旗杆AB的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）18．观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；（2）求证：∠ECF＝∠CEF．20．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．（1）若AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．21．2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：图书种类频数（本）频率名人传记175a科普图书b0.30小说110c其他65d（1）求该校九年级共捐书多少本；（2）统计表中的a＝，b＝，c＝，d＝；（3）若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；（4）该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．23．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）连接ED，若CD＝3，AE＝4，求AB的长；（2）如图2，若点F为AD的中点，连接EB、CF，求证：CF⊥EB．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣3的倒数是（）A．﹣3B．3C．﹣D．【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．2．下面计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．3a2﹣a2＝2C．4a6÷2a3＝2a2D．（a2）3＝a5【分析】先根据同底数幂的乘法，合并同类项法则，单项式乘以单项式，幂的乘方进行计算，再判断即可．【解答】解：A、结果是a5，故本选项符合题意；B、结果是2a2，故本选项不符合题意；C、结果是2a3，故本选项不符合题意；D、结果是a6，故本选项不符合题意；故选：A．3．下列多项式中，不能因式分解的是（）A．a2+1B．a2﹣6a+9C．a2+5a D．a2﹣1【分析】直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．【解答】解：A、a2+1，无法分解因式，故此选项正确；B、a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，能够分解因式，故此选项错误；C、a2+5a＝a（a+5），能够分解因式，故此选项错误；D、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），能够分解因式，故此选项错误；故选：A．4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【分析】根据三视图的意义，可得答案．【解答】解：正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．故选：D．5．某企业今年2月份产值为a万元，3月份比2月份增加了15%，4月份比3月份减少了5%，则4月份的产值为（）A．（a+15%）（a﹣15%）万元B．a（1+85%）（1﹣95%）万元C．a（1+15%）（1﹣5%）万元D．a（1+15%﹣5%）万元【分析】首先利用增长率的意义表示出3月份的产值，然后利用减小率的意义表示出4月份的产值．【解答】解：由题意得3月份的产值为a（1+15%），4月份的产值为a（1+15%）（1﹣5%）．故选：C．6．不等式组的解集为（）A．x≤1B．x＞﹣2C．﹣2＜x≤1D．无解【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1≤0得x≤1由3x+6＞0得x＞﹣2∴不等式组的解集为1≥x＞﹣2故选：C．7．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：甲乙丙丁11.111.110.910.9平均数（米）方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据平均数和方差的意义解答．【解答】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，故选：A．8．如图，直线x＝t与反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象交于点A，B，直线y＝2t与反比例y ＝，y ＝的图象交于点C，D，其中常数t，k均大于0．点P，Q分别是x轴、y 轴上任意点，若S△PCD＝S1，S△ABQ＝S2．则下列结论正确的是（）A．S1＝2t B．S2＝4k C．S1＝2S2D．S1＝S2【分析】设AB与x轴的交点为M，CD与y轴的交点为N，连接OA、OB、OC、OD，根据反比例函数系数k的几何意义即可证得S△ABQ＝S△AOB＝2k，S△PCD＝S△COD＝2k，即可证得S1＝S2．【解答】解：设AB与x轴的交点为M，CD与y轴的交点为N，连接OA、OB、OC、OD，∵直线x＝t与反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象交于点A，B，∴AB∥y轴，∴S△ABQ＝S△AOB，∵S△AOB＝S△AOM+S△BOM，S△AOM＝k，S△BOM＝×3k＝k，∴S△ABQ＝S△AOB＝+k＝2k，同理证得S△PCD＝S△COD＝2k，∴S△PCD＝S△ABQ，∴S1＝S2，故选：D．9．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD＝2：1，点G在DE上，DG：GE＝1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3【分析】如图，作DH∥BF交AC于H．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：如图，作DH∥BF交AC于H．∵DH∥BF，∴AH：HF＝AD：DB＝2：1，∴可以假设HF＝a，则AH＝2a，∵FG∥DH，∴FH：EF＝DG：EG＝1：2，∴EF＝2a，∴AF＝3a，∴AF：EF＝3a：2a＝3：2，故选：C．10．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．10D．15【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB＝10、GG′＝AD＝5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH 周长的最小值．【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝＝5，∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故选：B．二．填空题（共4小题）11．“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为 4.2×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：420000000＝4.2×108．故答案为：4.2×10812．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是0．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a ﹣1）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范围内的最大整数即可．【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0，解得a≤且a≠1，所以整数a的最大值为0．故答案为0．13．如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD＝4，则阴影部分的面积为2π﹣4．【分析】连接OB、OD，根据切线的性质和垂直得出∠OBP＝∠P＝∠ODP＝90°，求出四边形BODP是正方形，根据正方形的性质得出∠BOD＝90°，求出扇形BOD和△BOD 的面积，即可得出答案．【解答】解：连接OB、OD，∵直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，∴∠OBP＝∠P＝∠ODP＝90°，∵OB＝OD，∴四边形BODP是正方形，∴∠BOD＝90°，∵BD＝4，∴OB＝＝2，∴阴影部分的面积S＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣2，3），（3，2），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是或．【分析】用待定系数法求出MN的解析式，画出抛物线与线段MN，根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可．【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴MN的解析式为，∵抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0），观察图象可知，当a＜0时，x＝﹣2时，y＝4a+4≤3，且抛物线与直线MN有2个交点，且，∴a≤，联立方程组，消去y，得5ax2﹣4x﹣3＝0，∵△＝16+60a＞0，∴，∴，当a＞0时，x＝3时，y＝9a﹣1≥2，且，∴，综上，a的取值范围是或．故答案为：或．三．解答题（共9小题）15．计算：（﹣1）2018+|1﹣|﹣2sin45°．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（﹣1）2018+|1﹣|﹣2sin45°＝1+2﹣1﹣2×＝16．《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作，约成书于四、五世纪，现在传本《孙子算经》共三卷．卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”，请解答上述问题．【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得：，解得：．答：长木长6.5尺．17．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，求旗杆AB的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）【分析】如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据tan∠AEM＝构建方程即可解决问题【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中，＝＝，设CJ＝4k，DJ＝3k，则有9k2+16k2＝4，∴k＝，∴BM＝CJ＝，BC＝MJ＝1，DJ＝，EM＝MJ+DJ+DE＝，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，∴1.6＝，解得AB≈13.1．故旗杆AB的高度约为13.1米．18．观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：＝∴等式成立19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；（2）求证：∠ECF＝∠CEF．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由线段中点的定义得到AF＝FD，根据等腰三角形的性质得到∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，于是得到结论；（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，根据平行线的性质得到∠A＝∠MDF，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，根据直角三角形的性质得到FC＝EM＝FE，由等腰三角形的性质得到．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，∵CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EM＝FE，∴∠ECF＝∠CEF．20．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．（1）若AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．【分析】（1）通过证明＝得到AB＝CD；（2）连接OA、OB、OC，OC交AB于H，如图，由＝得到∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝30°，根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，AH＝BH，则∠BOC＝60°，于是可计算出OH＝，BH＝，所以AB＝2BH＝，根据三角形面积公式，当CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大，从而得到四边形ACBD的面积最大值．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴＝，∵AB平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD；（2）解：连接OA、OB、OC，OC交AB于H，如图，∵＝，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝30°，OC⊥AB，AH＝BH，∴∠BOC＝60°，∴OH＝OB＝，BH＝OH＝，∴AB＝2BH＝，∵四边形ACBD的面积＝S△ABC+S△ABD，∴当D点到AB的距离最大时，S△ABD的面积最大，四边形ACBD的面积最大，此时D 点为优弧AB的中点，即CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大，∴四边形ACBD的面积最大值为•×2＝．21．2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：图书种类频数（本）频率名人传记175a科普图书b0.30小说110c其他65d（1）求该校九年级共捐书多少本；（2）统计表中的a＝0.35，b＝150，c＝0.22，d＝0.13；（3）若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；（4）该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．【分析】（1）根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数；（2）根据频率＝频数÷总数分别求解可得；（3）用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）该校九年级共捐书：；（2）a＝175÷500＝0.35、b＝500×0.3＝150、c＝110÷500＝0.22、d＝65÷500＝0.13，故答案为：0.35、150、0.22、0.13；（3）估计“科普图书”和“小说”一共1500×（0.3+0.22）＝780（本）；（4）分别用“1、2、3”代表“名人传记”、“科普图书”、“小说”三本书，可用列表法表示如下：1231（2，1）（3，1）2（1，2）（3，2）3（1，3）（2，3）则所有等可能的情况有6种，其中2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的情况有2种，所以所求的概率：．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a的一元一次方程，通过解该方程求得a的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∵点P关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边，令y＝﹣3代入PP'，则，M的坐标为，∴，∴．23．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）连接ED，若CD＝3，AE＝4，求AB的长；（2）如图2，若点F为AD的中点，连接EB、CF，求证：CF⊥EB．【分析】（1）根据旋转的性质，得出△BCD≌△ACE，进而得到AE＝BD＝4，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∠EAD＝90°，求出DE的长，即可得到AD的长，进而得出AB 的长；（2）过C作CG⊥AB于G，则AG＝BG，得出，证明△CGF∽△BAE，得到∠FCG＝∠ABE，依据∠ABE+∠CFG＝90°，可得CF⊥BE．【解答】解：（1）如图1，由旋转可得，EC＝DC＝3，∠ECD＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，又∵AC＝BC，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD＝4，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∴∠EAD＝90°，∴DE＝＝3，∴AD＝＝＝，∴AB＝AD+BD＝+4．（2）如图2，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CG＝AB，即，∵点F为AD的中点，∴F A＝AD，∴FG＝AG﹣AF＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，由（1）可得，BD＝AE，∴FG＝AE，即，∴，又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG＝∠ABE，∵∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠ABE+∠CFG＝90°，∴CF⊥BE．。