利用空间向量求空间角检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B.135° C ．45°或135°D ．90°解析：选C ∵cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝12＝22，∴m ，n ＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C.2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n | DC 1―→|·|n |＝33535，∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.3．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为( )A ．120° B.30° C ．90°D ．60°解析：选D 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0,0)，B (0，2，0)，C (0，0，2)，D (0，－2，0)，∴AD ―→＝(－2，－2，0)，BC ―→＝(0，－2，2)． ∴|AD ―→|＝2，|BC ―→|＝2，AD ―→·BC ―→＝2. ∴cos 〈AD ―→，BC ―→〉＝AD ―→·BC ―→|AD ―→||BC ―→|＝22×2＝12.∴异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选D.4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B -AA 1-C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B. 6C. 5D ．2解析：选A 由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝4， |AB 1―→|＝22，|BC 1―→|＝4，cos AB 1―→，BC 1―→＝AB 1―→·BC 1―→| AB 1―→|·|BC 1―→|＝24，故tanAB 1―→，BC 1―→＝7.5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.3610解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1()0，3，2，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()1，－3，－1，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ EF ―→·n ＝0， GF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝()1，3，1为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1， 则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→＝(0,1，－1)， A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －12z ＝0，令x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)． 又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.7.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AB ＝4，AA 1＝6，若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE ＝B 1E ，C 1F ＝13CC 1，则异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为( )A.36B.26C.310D.210解析：选D 如图，以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意，得A 1(4,0,6)，E (2,23，3)，F (0,0,4)，A (4，0,0)，A 1E ―→＝(－2,23，－3)，AF ―→＝(－4,0,4)．设异面直线A 1E 与AF 所成的角为θ，则cos θ＝|A 1E ―→·AF ―→||A 1E ―→||AF ―→|＝4202＝210.故异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210.故选D. 8.已知正四棱锥P -ABCD 中，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( )A.33B.63C.16D.12解析：选C 连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，连接OP ，由题意知AC ⊥BD ，OP ⊥平面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系，所以A (2，0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，22，22，B (0，2，0)，F ⎝⎛⎭⎫－22，0，22，则AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－2，22，22，BF ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－2，22，则cos 〈AE ―→，BF ―→〉＝AE ―→·BF ―→| AE ―→||BF ―→|＝1－1＋122＋12＋12·12＋2＋12＝16.故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为16，选C.二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3.E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点(端点除外)，满足SF BF ＝CEBE ＝λ，当实数λ的值为______时，∠AFE为直角．解析：由SA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .∵AB ＝4，SA ＝3， ∴B (0,4,0)，S (0,0,3)．设BC ＝m ，则C (m,4,0)， ∵SF BF ＝CE BE＝λ，∴SF ―→＝λFB ―→. ∴AF ―→－AS ―→＝λ(AB ―→－AF ―→)．∴AF ―→＝11＋λ(AS ―→＋λAB ―→)＝11＋λ(0,4λ，3)，∴F ⎝⎛⎭⎫0，4λ1＋λ，31＋λ.同理可得E ⎝⎛⎭⎫m1＋λ，4，0，∴FE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m1＋λ，41＋λ，－31＋λ. ∵F A ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4λ1＋λ，－31＋λ，要使∠AFE 为直角， 即F A ―→·FE ―→＝0，则0·m1＋λ＋－4λ1＋λ·41＋λ＋－31＋λ·－31＋λ＝0，∴16λ＝9，解得λ＝916.答案：91610.如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0,0,0)，A (1，0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ―→＝(－1,2,0)，EC ―→＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ―→，EC ―→〉＝AF ―→·EC ―→|AF ―→||EC ―→|＝45×5＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：4511.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF ―→＝(0，－1,1)，BC 1―→＝(2,0,2)， ∴EF ―→·BC 1―→＝2，∴cos 〈EF ―→，BC 1―→〉＝EF ―→·BC 1―→|EF ―→||BC 1―→|＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案：60°12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)，EB ―→＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ，∴n ＝(－a,0,1)， ∴cos 〈n ，OF ―→〉＝n ·OF ―→|n ||OF ―→|＝a ＋3a 2＋1×10.∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴|a ＋3|a 2＋1×10＝22， 解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴AE ＝2.答案：2三、综合题（3个小题，共40分）13.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AP ⊥AD ，AD ＝2BC ＝2AB ＝4，∠BAP ＝120°，DC ＝2 2.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)若P A ＝2，求二面角B -PC -A 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点E ，连接CE ，所以AE ＝BC ＝2. 因为AD ∥BC ，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以CE ∥AB ，且CE＝AB ＝2.又因为DE ＝2，DC ＝22，所以DE 2＋CE 2＝DC 2，所以DE ⊥CE ，所以AD ⊥AB . 又因为AD ⊥AP ，AP ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面P AB .又因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面P AB .(2)由(1)知AD ⊥平面P AB ，过点A 作AF ⊥P A 交PB 于点F ，以点A 为坐标原点，AP ―→，AF ―→，AD ―→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .则A (0,0,0)，P (2,0,0)，B (－1，3，0)，C (－1，3，2)，所以BC ―→＝(0,0,2)，BP ―→＝(3，－3，0)，AP ―→＝(2,0,0)，AC ―→＝(－1，3，2)．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BC ―→·n ＝0， BP ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1－3y 1＝0，取y 1＝3，得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，3，0)． 设平面P AC 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧AP ―→·m ＝0， AC ―→·m ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2＋3y 2＋2z 2＝0，取y 2＝23，得平面P AC 的一个法向量为m ＝(0,23，－3)． 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1×0＋3×23＋0×(－3)12＋(3)2×02×02＋(23)2＋(－3)2＝217. 因为二面角B -PC -A 是一个锐二面角，所以其余弦值为217. 14.（14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)． 又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . (2)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )， 进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )，BE ―→＝(－2,2,2)． 由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.15.（14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，P A 是该四棱锥的高，PB 与平面P AD 所成的角为45°，F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点．(1)证明：PE ⊥AF ；(2)若BC ＝2AB ，PE 与AB 所成角的余弦值为21717，求二面角D -PE -B 的余弦值．解：(1)证明：由题可知AD ，AB ，AP 两两垂直，且∠BP A ＝45°，∴AP ＝AB .以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AP ＝AB ＝b ，BE ＝a ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，E (a ，b,0)，P (0,0，b )，F ⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2， ∴PE ―→＝(a ，b ，－b )，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2. ∴PE ―→·AF ―→＝0，∴PE ⊥AF .(2)设AP ＝AB ＝2，则BC ＝4，故D (4,0,0)，B (0,2,0)，E (a ，2,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AB ―→＝(0,2,0)，PE ―→＝(a,2，－2)，AF ―→＝(0,1,1)．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB ―→·PE ―→|AB ―→||PE ―→|＝21717，得42·a 2＋8＝21717，解得a ＝3(负值舍去)，∴E (3,2,0)． 设平面PDE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又PD ―→＝(4,0，－2)，ED ―→＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD ―→＝0，n ·ED ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －2z ＝0，x －2y ＝0，令y ＝1，得n ＝(2,1,4)． ∵AF ―→·PB ―→＝0，∴AF ⊥PB . 又由(1)知AF ⊥PE ，PB ∩PE ＝P ，∴AF ⊥平面PBC ，即AF ―→为平面PBC 的一个法向量． 设二面角D -PE -B 的平面角为θ，由图可知θ为钝角， ∴cos θ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AF ―→|n ||AF ―→|＝－1＋421×2＝－54242.。