两式相除，就可以得到罗尔恒等式。
3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响 设效用函数为: u( x1 , x2 ) x1 x2 最大化问题为: max x1 x2
s.t. p1x1 p2 x2 y
L x1 x2 ( y p1 x1 p2 x2 )
L 0 x1 L 0 x2
2.间接效用函数的性质
n （1）在价格和收入上 (R R预算集的定义域) 是连续的。
当价格和收入有微小变化时，最大化的效用 也会有微小的变化。因为如果u（x）是连续的， 则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。
（2）它对于价格和收入是零次齐次的，即价 格和收入的同比例变化并不影响效用水平。
1 1
1 1
令r
1
, 可得到:
1
1 h p1 1 x2 u p2

ux2 ( p1r p )
1 1 r r 2
r p2 1
x u( p p )
h 1 r 1
1 1 r r 2
p
s.t. u ( x1 x2 )1/ x1 0, x2 0
1
L ( x1 , x2 , ) p1 x1 p2 x2 [u ( x1 x2 ) ]
1 L p1 ( x1 x2 ) x1 1 0 x1 1 1 L p2 ( x1 x2 ) x2 1 0 x2 1
h e( p, u) p1x1h ( p, u) p2 x2 ( p, u) e*
e( p , u ) min( p x ) n
xR
s.t.
u ( x) u
L=p x- u ( x ) - u L u ( x ) pi 0 xi xi L u ( x ) - u 0 pi u ( x ) xi pj u ( x ) x j
x2
h 0 0 x2 ( p1 , p2 , u) h 1 0 x2 ( p1 , p2 , u)

A

B
0 p1 0 p2 1 p1 0 p2
价格变动的 替代效应
o


x1
希克斯需求曲线
0 x1h ( p1 , p2 , u)
p1
p10 p
1 1


A’
C’
o
h 1

h x2 ( p, u)
2
, u ( x ) u
x

u O
x ( p, u)
h 1
e2 p1
e* p1
e1 p1
x1
二、希克斯需求函数

希克斯的需求函一般记为： ( p, u ) h

即为达到既定的效用水平u，选择的最小支出 时消费者对x的需求。




希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。 一是某商品价格下降，效用增加，可假定把 消费者收入减少（负的补偿），使其效用水 平与以前一样。 二是某商品价格上升，效用减少，此时增加 消费者的收入，使其效用水平也不变。 这两种情况下，消费者的选择会发生何种变 化？
* 1
* x1 2 。说明政府开征 p1从0.25涨到0.5元后， 商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1， 政府的税收也是0.5元。
(2) p1 0.5, 代入v( p1, p2 , y), 新的间接效用函数为:
y 2 (2) v ( p1 , p2 , y) 1.41 1.5 0.5 0.5 0.5 2( p1 ) ( p2 ) 2(0.5) 1
xR
其中， x x* ( p, y) 因此，
v( p, y ) / y max u ( x) / y n
L( x, ) u( x) ( y p x)
xR
L( x* , * ) u( x* ) * pi 0, (i 1, 2, n) xi xi
需要证明，对于所有的t>0，都有：
v( p, y) v(tp, ty),即v(tp, ty) tv( p, y)
证明：v(tp, ty) max u ( x), s.t. tp x y n
xR
max u ( x), s.t. p x y n
xR

（3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上 则是严格递减的。 v( p, y) max u ( x), s.t. p x y n

将x*与λ*代入L(· )。因此：
v( p, y) L( x* , * ) * y y
u( x* ) 由于， 0(u()严格递增), pi 0 xi 因此， * 0 v( p, y ) 0 y
（4）满足罗尔恒等式。

如果间接效用函数 v( p, y ) 在点上( p , y ) 是可导的，且： 一定存在 v( p, y ) 0
y
v( p, y) x j ( p, y) p j

v( p, y) , j 1, 2,, n y
这个证明要用到包络定理。
由max u f ( p, y ) s.t px y 得，L(x, )=u(x)+(y-px) v ( p, y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y v ( p, y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) x p p
L u ( x1 x2 ) 0
1
p1 x1 p2 x2
1
,
1
p1 x1 x2 , u=(x1 x2 ) p2 把x1代入u , 得 :
p1 1 p1 1 u x2 x2 x2 1 p2 p2
运用包络定理，可得到：
e( p, u ) L( x* , * ) h xi xi ( p, u ) * pi pi
例：
min( p1 x1 p2 x2 )
x1 , x2
1
由u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1),求支出函数.

若政府征收0.5元的所得税，消费者收入降为 1.5元，间接效用也从2降为1.5。 现考虑政府对X1征收商品税0.25元，此时,p1 会从0.25涨到0.5元。 问题1：商品税使政府能征到0.5元的税收吗? 问题2：商品税对消费者的间接效用的影响有 多大？


y , y 2(收入不变) （1）x 2 p1
1.基本概念 间接效用函数表示收入和价格两个变量下 消费者的最优消费时的效用，或最大化效用与 价格集和收入集之间的函数关系。
v( p, y) max u( x) x ( p, y) n
xR
s.t. p x y
间接效用函数的存在对于说明政府政策对消 费者福利的影响有比较便利的条件，如控制价 格和收入政策。
p
r 1 1
up2 ( p p )
r 1
1 1 r r 2
p
r 1 2
u( p p )
r 1
1 r r 2
求上式对于p1的偏导，可直接验证谢泼特引理。
四、预算份额

如果收入为y，消费的商品数量和价格分别为：
( x1, x2 ,, xn )和( p1, p2 , pn ) pi xi 则称： Si 为购买xi的收入（预算）份额。 y 如果i=1,2，则 p1 x1 S1 S2 1 S1 y
可见，开征商品税对消费者的间接效用的负 面作用大于开征所得税。 原因：一是价格提高减少了消费者的实际购 买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得 税只产生第一方面的影响。
§2.支出函数
一、支出函数的定义
支出函数：这是个支出最小化问题，选择合适 的x使得满足约束条件。 如果在价格为p时为满足特定效用水平u所必需 的最低花费为e(p,u),则：
x ( p , p , u) x ( p , p , u )
0 1
0 2
h 1
1 1
0 2
x1
三、谢泼特引理

如果u(· )是连续且严格递增的，则当p>>0时， 支出函数 e( p, u ) 在点 e( p0 , u 0 ) 对于p可微，且
e( p 0 , u 0 ) xi xih ( p 0 , u 0 ) , (i 1, 2,, n) pi
第二章 间接效用函数与支出函数
§1.间接效用函数
一、相对价格变化与收入变化对最优 消费量的影响
x2
y p2 p1 p2 y p1
p1' p2
y p1'

x1
x2
y' p2 y p2
收入变化的影响
y p1
y' p1
x1
x2

x0
x1
x2
x1
价格和收入变化对最优消费量的影响
二、间接效用函数
五、对偶性问题

就是指在经济学中具有成对意义的一些概念和问 题。在需求分析中的主要的对偶关系有：
(1) x( p, y ) h p, v ( p, y ) (2) h( p, u ) x p, e( p, u ) (3)e p, v ( p, y ) y (4)v p, e( p, u ) u
求出的Βιβλιοθήκη 小解称为希克斯需求函数。记为：xi xih ( p, u), i 1, 2,...n
代入支出px得最小支出函数。记为：