平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。

求该消费者的间接效用函数。

并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。

并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。

从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：12212max x x x x ，1221..s x m p p x t +=构造该问题的拉格朗日函数：()2121122x m p p L x x x λ+-=-拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：121120Lx x p x λ∂=-=∂ ① 21220Lx p x λ∂=-=∂ ②11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：11222p x x p =④ 把④式代入③式中得：()11212,,3mx p p m p *=⑤ 把⑤式代入④式中得：()2122,,3mx p p m p *=⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：()2322211244,,3927x y m m m V p p m p p p p =⨯=由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：()12321231212273,,242p p u e p p u p p u ⎛⎫==⎪⎝⎭3．试根据间接效用函数()1212,,mv p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。

解：由间接效用函数可得：()2112v m p p p ∂=-∂+，()2212v mp p p ∂=-∂+，121v m p p ∂=∂+。

根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：()2121112121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++ ()122212121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()212,x x R +∈。

已知北京的物价为()12,aa p p ，上海的物价为()12,b b p p ，并且1212a a b b pp p p =，但11a b p p ≠，22a b p p ≠。

又知广州的物价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，。

若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？解：老人的效用最大化问题为：12121122max ..x x x x s t p x p x m+=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：2110Lx p x λ∂=-=∂ ① 1220Lx p x λ∂=-=∂ ② 11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 由①②③三式求解，可得：()1121,,2m x p p m p =，()2122,,2m x p p m p =。

将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：()21212,,4m v p p m p p =于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：2114a a a m v p p = 2114b b b m v p p = 2114c c c m v p p =因为1212a a b bp p p p =，所以a b v v =。

又因为1122121122121222a b a b cca b a b a a b b p p p p p p p p p p p p p p ++=⋅≥==，由于已知1122a b a bp p p p ≠≠，，所以该不等式的等号并不成立，则有c a b v v v <=。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5．（1）设12u x x =，这里()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u 。

（2）又设12ln ln u x x '=+，这里，()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u ''。

（3）证明：()()1212,,,,e p p u e p p u ''=，其中ln u u '=。

答：（1）消费者的支出最小化问题为：12112212max x x p x p x s t x x u+..=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212L x x p x p x u x x λλ=++-，，拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1210Lp x x λ∂=-=∂ ① 2120Lp x x λ∂=-=∂ ② 120Lu x x λ∂=-=∂ ③ 由上述三式解得：12211up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，12122up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭。

把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()()1212121212,,2e p p u p p up p u ==（2）消费者的支出最小化问题为：12112212min ..ln ln x x p x p x s t x x u ++='，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212,,ln ln L x x p x p x u x x λλ=++'--拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1110L p x x λ∂=-=∂ ① 2220L p x x λ∂=-=∂ ② 12ln ln 0Lu x x λ∂='--=∂ ③ 由①②③三式可解得：122211u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭，122122u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭。

把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()1221212,,2u e p p u p p e '''==（3）证明：1212ln ln ln u x x u u u x x =⎫⇒'=⇒⎬'=+⎭根据（1）与（2）的结果，可得()()1212,,,,e p p u e p p u ''=。

6．设某消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，这里1α0<<。

什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，从中反解出m 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：()112,e p u up p αα-=根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：()()()111221111,,up p e p u p h p u u p p p αααα--∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂⎝⎭7．考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数()1in i i u x A x α==∏，这里0A >，11ni i α==∑。

（1）求每种商品的马歇尔需求函数。

（2）求消费者的间接效用函数。

（3）计算消费者的支出函数。