平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数1 •设一个消费者的直接效用函数为u =• Inq。

求该消费者的间接效用函数。

并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。

并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数:L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2L 对q 、C 2和，分别求偏导得:从而解得马歇尔需求函数为:y P 2q2二P 2由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。

将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：P iP 2②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。

从而解得马歇尔需求函数为：P i将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工P i(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -P iP 2将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:P t = 0-:C i C ip 2 = 0 池y~ p i q i_ p 2q^= 0OK从①式和②式中消去后得::、沱 P 2q p再把④式代入③式中得：C 2y P 2P 2① ②③④⑤②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分P i别对P i 、P 2和y 求偏导得:由罗尔恒等式，得到:(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：(I )消费者的效用最大化问题为：2max x X 2X i, X2st. px • p 2x 2 二m构造该问题的拉格朗日函数:把⑤式代入④式中得:_/V _ 二印1 — p由罗尔恒等式，得到：a*矽® P i a P 2q i---应出丄P i:-p 2p2p2y :—■ ■:-V :卩2 P 2 P 2y 「二P 2；v 沁 丄P 2P iJv-：p；v ：：yq i”:-v :v :yP iq 2拉格朗日函数对xX 2和■分别求偏导得:从①式和②式中消去■后得:把④式代入③式中得:" 2x i X 2 - 1 P i 二 0 jX i；：L 2-X - - 1 P 2 =0X 2二 P ix - 2P 2X - p,P 2,m )=2m 3P i① ② ③④⑤1P 2.P i—m显P i,P 2,m 五⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：4m 2m4 m 3V P x ，P y ,m2—9 P i 23P 2 27口和2由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：1.『27成P 2U~4收入。

2P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 22P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 24.考虑一退休老人， 他有一份固定收入， 想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数 u r x M ，这里 X ,，冷卢R 2。

已知北京的物价为p a, p l ，上海的物价为p ,b, p 2，并且P i ap f=p ； p ；，但p a= Pi b,廖=p ；。

又知广州的物价为（P C ,P 亠伽F ® +训若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生 活？解：老人的效用最大化问题为：maxx ,x 2X ,, X 2st p ,x , +p 2x 2 =m构造该问题的拉格朗日函数：L （x i ,x 2，人） = x* +^（m — px i -P 2X 2）拉格朗日函数对X ,、X 2和■分别求偏导得:=2 32P ； P 2Ue P i , P 2，u 二 3 •试根据间接效用函数 VP ，P 2，mJ "— 求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示解：由间接效用函数可得:■v.P 12P 1 - P 2:y _；：P 22P 1 - P 2-------- = ----------------------------- o；:m P ，- P 2根据罗尔恒等式可知商品1和商品 2的马歇尔需求函数分别为（其中i =1 或 2):3 =x i _ • P 2 =0；X 2Lm-px -p 2% =0由①②③三式求解，可得： x(P i ,P 2,m)=-^， X2(p i ,p 2,m)=2 pi2 p2将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数:于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:5- (i )设u =X i X 2，这里x i ,X 2 ]WR 2，求与该效用函数相对应的支出函数 e p i , P 2, u 。

(2)又设u' =l n X i ・lnx 2，这里，卢R 2，求与该效用函数相对应的支出函数e P ,P 2,u 。

(3)证明： e p, P 2,u = e P i , P 2, u ，其中 u=|nu 。

答：(i )消费者的支出最小化问题为：max p x P 2X 2 X i, X2st x x ? =u构造该问题的拉格朗日函数：L x , x 2, ' = p i x i p 2x 2 亠」u —x x 2 拉格朗日函数对X i 、X 2和■分别求偏导得：P i - X 2:L °P 2 - ■ x i =0.x 2综合上述分析可知： 若该退休老人是理性的， 则他会选择在北京或上海生活， 但不会选b，所以该不等式的等号并不成立，则有 V c :：: V a 二V b 。

择去广州生活。

.:L二X 2 -1P i二0v p,p 2,m ]=4 P i P 2V aa a 4p i Pi% _4p i bp bV cc c 4 P i Pi因为P ：P ；=P ； P b，所以 V =v b。

又因为a bc cP P iP i P 2-ab p 2p_2p ai p bip a . p b由于已知abaP i = Pl ，P 2 = P- u - X i X 2 =0把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:e"(p i , p 2,u")=2(p i p 2『e u '2=2、；p i p 2e'(3)证明:=u =ln u = 2 • p i p 2e u=2 pp 2e lnu=2』p i p 2Uu =ln X t 亠1 n x 2|-根据(i )与(2)的结果，可得 e p i , p 2, ^ =ep i , p 2, u 。

6•设某消费者的间接效用函数为 v p,p 2,m 二，这里 几c i 。

什么是该消费P i P 2者对物品i 的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为v P i ，P 2,m二p :mP =，从中反解出m 关于P i 、P 2和v 的表达式，并用u 替换v ,就得到了消费者的支出函数：e p,u =up ;p 2"-12-12由上述三式解得：X =弋丿把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:, i2 — e P i , P 2,u =2 p i p ?]屮 =2. p iP 2U(2)消费者的支出最小化问题为:min PX 亠 px 2 X ，X2s.t In x +ln 冷=u "构造该问题的拉格朗日函数:L x, X 2「 - p i X i P 2X 2 亠；.[u -I n X i -Inx 2拉格朗日函数对 x 1、 X 2和，分别求偏导得:■门 P -一 =0.:X i X.：X i 兰 *2-一0.X 2X 2Cf.由①②③三式可解得：X i 二P 2 I P i 丿e u,'2， X 2 e u '2。

u =XX 2根据谢泼特引理，可知物品 1的希克斯需求函数为:把这n -1个等式代入①式中，就有:即:从而解得商品的马歇尔需求函数为：、、一 yX ― i =1,2,l||nP i(2)把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，£6fp,u\ 云(UpflD 严)h P ,U =-:P 1/P l1P 2=O(U —I P 1丿7 .考虑含n 种商品的 Cobb-Douglass n效用函数u x = A| ] x i ?，这里A . 0 , Y 匕i =1。

(1) (2) (3) (4) 求每种商品的马歇尔需求函数。

求消费者的间接效用函数。

计算消费者的支出函数。

计算每种商品的希克斯需求函数。

解：(1 )消费者的效用最大化问题为:n _max u x = A ' x' x1，x2 x ni 丄n st ,' P i X = yi -4构造该问题的拉格朗日函数:拉格朗日函数对X i i =1,2,H|n 和，分别求偏导数得:—=A i X：i J| ] X j -^Pi ■ =0 i=1,2,l(|n .Xj圧jL ny P i X =0一1从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立::i X j P i:jX从而得到，对任意的j -i 都有:X j:jP i X":iPjp i1 i *Pi +±(r[ Xi =y 就得到了消费者的间接效用函数:(3)从间接效用函数中反解出 y 关于p i 、p 2和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：(4)把支出函数两边取对数，得:上式关于p 求导得:e p,u 二In e =汕 u -I nA ：] -：; Il n p —In al.?1；:e :-i再根据谢泼特引理 h p,u 二壬P ,ux得到消费者对物品的希克斯需求函数为:tpiuA 」n ,j =1,2,3,HI,n&以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可 以得到同一需求函数。

答：(i )如果消费者的效用函数为柯布一道格拉斯效用函数， 那么他的效用最大化问题可以描述为：max Ax ：f X 〔，x2st , p,x 卩2冷=m构造该问题的拉格朗日函数:人，冷， H A X -I X 1--? " P m — P i x i —P2%拉格朗日函数对x i 、X 2和，分别求偏导得：——=a Ax 严x 严一 X p = 0 .:x 1AxF x 2二 _ ■ p 2 =0_*2m 「px 「0x 2 =0ck从①式和②式中消去'后得：PXX 2〉P 2把④式代入③式中解得:p,y ]=u x p, y =Ae B px ；二兰二ep,u 」二巴 羽 P j 宀:-j 4am X i⑤P i把⑤式代入④式中解得：X_ 1 m 2P 2⑤、⑥两式就是与柯布一道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数, 函数式中，就得到了间接效用函数：（2）消费者的支出最小化问题为:min p X 1 - p 2X 2X〔，X2st , u X 二 AxC ：构造该问题的拉格朗日函数:屮(XX,人)=P i X i +P 2X 2 + 扎(u-A 仪拉格朗日函数对X 1、X 2和，分别求偏导得：p 」；4、纠：七；-‘ -0 各1 p 2 —'# A 1 - ? X <X^ - 0 -X 2u —A /x ；三=0从①式和②式中消去■后得：（1 一G 恥1X 2把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为:把⑤式代入④式中解得商品 2的希克斯需求函数为:/ V ue p ，U i=A（3）下面来验证问题的结论：对柯布一道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题 和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。