f ( x) 故 f ( x ) 与 ( f ( x ), f ( x )) 有完全相同的不可约因式， f ( x) 且 的因式皆为单因式. ( f ( x ), f ( x ))
例2
解:
f ( x ) x 5 15 x 3 10 x 2 60 x 72 在 求 f '( x ) 5 x 45 x 20 x 60
f ( n1) ( x ) 0.
基本公式:

( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g '( x ) (cf ( x ))' cf '( x ) ( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x )
称多项式 n1 n 2 f '( x ) nan x ( n 1)an1 x a1 为 f ( x )的一阶微商(导数).
归纳地,可定义 f ( x )的高阶微商.
( k 1)
f ''( x ) ( f '( x ))',, f
(k )
( x) ( f
( x ))',,
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的单因式.
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的重因式. （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式.)
例1
2 2 2 设 f ( x ) ( x 2) , p( x ) x 2.
问: p( x ) 是否为 f ( x ) 的重因式? 在 [ x ]中,p( x )是 f ( x )的2重因式. 在 [ x ]中,p( x ) 不是 f ( x )的重因式.
说明: 若 f ( x )有标准分解式
f ( x ) cp ( x ) p ( x ) p ( x ),
r1 1 r2 2 rs s r r ( f ( x ), f '( x )) p11 1 ( x ) p22 1 ( x ) psrs 1 ( x ), 则 f ( x) cp1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x ). ( f ( x ), f '( x ))
§1.6 重 因 式
一、 k 重因式 定义1 设 p( x ), f ( x ) P[ x ], 若 (1) p( x ) 为数域 P 的不可约多项式, (2) pk ( x ) | f ( x ), (3) pk 1 ( x ) | f ( x ) , 则称 p( x ) 为 f ( x )的k重因式.
r1 1 rs s
其中 p1 ( x ),, ps ( x ) P上互不相同的不可约多项式, 是 则pi ( x )是 f ( x )的ri 1 重因式. 说明
根据推论3、4可用辗转相除法，求出 ( f ( x ), f ( x ))
来判别 f ( x )是否有重因式．若有重因式 ，还可由
( f ( x ), f ( x )) 的结果写出来.
r1 r2
f ( x ) ( x 3)2 ( x 2)3 .
推论3 数域 P 上多项式 f ( x ) 无重因式
( f ( x ), f '( x )) 1.
说明: 尽管在不同数域中, f ( x )的重因式不同.但由
推论3可知, f ( x ) 有无重因式与数域扩大无关.
推论4 设f ( x ) P[ x ],( f ( x ), f '( x )) p ( x ) p ( x ),
推论1 不可约多项式 p( x )是 f ( x )的k 重因式 ( k 1)
p( x )是 f ( x ), f ( x ), , f ( k 1) ( x )的因式,但不是
f ( k ) ( x )的因式.
推论2 不可约多项式 p( x )是 f ( x )的重因式 p( x )是 f ( x ), f ( x ) 的公因式.
说明: 若 p( x )为 f ( x )的k 重因式,则存在 g ( x ) P[ x ],
k 使得 f ( x ) p ( x ) g( x ), 其中( p( x ), g ( x )) 1.
二、重因式的判定
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 , 定义2 设; mf m1 ( x ) f '( x )
定理1 若不可约多项式 p( x )是 f ( x )的 k重因 式 ( k 1 ), 则 p( x )是 f '( x )的 k 1重因式.
思考: 定理1的逆命题是否成立?
f ( x ) x 3 1, p( x ) x. 反例:
4 2
实数域上的标准分解式.
( f ( x ), f '( x )) x 3 x 2 8 x 12, 则 f ( x) 2 x x 6 ( x 3)( x 2). ( f ( x ), f '( x ))
设 f ( x ) ( x 3) ( x 2) , 则 r1 2 r1 r2 5 r1 r2 r2 3 3 ( 2) 72