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高等代数 期末考试 1 月 3 日 (周二) 上午 8: 30
f ( x1, x2, x3 ) x12 4 x22 x32 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
在单位球面 x12 + x22 + x32 = 1 上的 最大、最小值 , 在何处取到 ?
f x12 4 x22 x32 4 x1x2 8 x1x3 4 x2 x3
5 y12 5 y22 4 y32
f = XTA X
λ1
A P
PT
λn
X =PY
A 的合同标准型.
g = YT D Y
λ1,, λn 为 A 的实特征值
D = PT A P
f x12 4 x22 x32 4 x1x2 8 x1x3 4 x2 x3
1 2 4 x1
x1
x2
x3
2
4
2
x2
4 2 1 x3
f 、g 等价 A 与 B 合同
• 二次型的等价满足反身性, 对称性, 传递性, 是全体二次型上的等价关系 .
• 类似的, 合同关系也是全体 n 级矩阵上的 等价关系.
对称矩阵化标准型的三种方法
• 作正交替换 ( 实对称矩阵 ) • 配方法 • 成对的初等行、列变换
若 A 是实对称矩阵则, 存在正交矩阵P , 使得
4 ( y12 y22 y32 ) 9 y12 9 y22 4 等号成立当且仅当 y1 y2 0
等号成立当且仅当 y1 y2 0
1
x1 x2 x3
5 2
5
0
4
45 2 45 5
45
2
3 1
3 2
0 0 y3
y3η3
3
在 λ 4的特征子空间与单位球面
5 0 0 x1
x1
x2
x3
P
0
5
0
PT
x
2
令 y1 y2 y3
0 0 4 x3
f ( x1, x2, x3 ) 5 y12 5 y22 4 y32
5 0 0 y1
y1 y2 y3 0 5
0
y2
0 0 4 y3
5 0 0 x1
XT A X
= ( C Y )T A ( C Y )
= YT CT A C Y
CT A C 是对称矩阵
得到 Y 的二次型 , 其对称矩阵为 CT A C
二次型的等价与矩阵的合同
若存在变量替换 X = C Y, 将二次型 f = XT A X 变为 g = YT B Y , ( 即有 可逆矩阵 C , 使得 B = CT A C ), 则称 二次型 f 与 g 等价, 称 A 与 B 合同.
X 是变元列向量, A 是对称矩阵 .
一一对应 二次型 f 对称矩阵 A
• 对 n 元二次型,
f ( x1 , x2 , … , xn ) = XT A X
常做的操作是变量的非退化线性替换 ,
简称变量替换 X=CY,
: C
是
n
阶可逆矩阵,Yy源自 y2,新变量 Y = C -1 X
yn
• 作变量替换 X = C Y ,
高等代数 I
主讲教师 : 高 峡
理科楼 1473W
助教 : 何俊材 乔灵霞 王宇鹏
大课 周二 3-4 节 周四 5-6 节 电教 112
习题课 周三 10-11 节 三教 303 三教 305 三教 307
• 教材: 《高等代数》，丘维声著, 科学出版社
• 参考材料 ： 《线性代数讲稿》, 施光燕著 《高等代数学》, 张贤科著 《 Linear Algebra 》, by Gilbert Strang
f ( x1 , … , xn ) = a11 x12 + … + ann xn2 + 2 a12 x1 x2 + … + 2 an-1 n xn-1 xn
a11 a12 a1n x1
x1 x2 xn
a12
a22
a2n
x2
a1n
a2n
ann
xn
对称矩阵
每个 n 元二次型 f 都可唯一地写成 f ( x1 , … , xn ) = XTA X
X =PY
5( y12 y22 y32 ) 9 y32
5
等号成立当且仅当 y3 0 y12 y22 y32 1 x12 x22 x32 1
等号成立当且仅当 y3 0 ,即
y1
x1
y2
P
T
x2
1
x1 x2 x3
5 2
5
4
45
2
45
5
2
的交集上取到最小值 4
f 取到最大值5
f 取到最小值 4
z
y
AX 5X
η2
AX 4X
η3
x
η1
定理：
二次型 f ( X ) = XTA X 在单位球面 || X || = 1 上的最大(最小) 值, 是实对称矩阵 A 的最大 (最小) 特征值，且在最大(最小)特征值特征 子空间与单位球面的交集上取到.
二教 107 , 109
《高等代数》上册, 丘维声著(高教版) 第 4 , 5 , 6 章 (不含广义逆) + 线性变换的矩阵
作业： 最后一次不用交
§7.4 §7.5 §7.6
1(2)(3) , 2 1, 2 , 6 4 , 5(1) , 16
第六章 二次型
1 二次型与它的标准型 2 实二次型与它的规范型 3 正定二次型与正定矩阵
3 1
3 2
y1
y2
0
y3
y1η1
y2η2
x3
0
45 3
在 λ 5的特征子空间与单位球面 的交集上取到最大值5
当 y12 y22 y32 x12 x22 x32 1时,
x12 4 x22 x32 4 x1x2 8 x1x3 4 x2 x3 5 y12 5 y22 4 y32
f
x1
x2
x3
P
0
5
0
PT
x
2
0 0 4 x3
做正交替换相当于取新的直角坐标系 Y
x1 x2 x3
P
y1 y2 y3
1
5 2
5
0
x3
y3
y2
4 45
2 45 5 45
x2
y1
2
3 1
3 2
y1
y2
y3
3
o
x1
例: 求二次齐次函数 (二次型)