第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1）总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+=（4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pP m m um m p P u m pP m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z ky jx ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
）∴ =∇1r r R Mm ∇+∇1；仿此可设 =∇2r r R Mm ∇-∇1 （2）代入（1）中，得 ⎪⎭⎫⎝⎛∇+∇-∇+∇-=r R r R m M m m m M m m M i p 121221 r i ∇-= （3）()2121r r i p p P ∇+∇-=+=)2(Ri ∇-= （4）p r P R L ⨯+⨯=只要将（3）、（4）式中的p 、P 以相应的算符代入即可。
6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a ）电子偶素（positronium ，指-+-e e 束缚体系） （b ）u 原子（muonic atom ）（c ）u 子偶素（muonium ，指-+-u u 束缚体系） 解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：22412nue E n-=, p e p e m m m m u +=。
（a ）电子偶素能级 22414n ue E n-=，（2e ee e e m m m m m u =+=）（b ）u 原子能级 22412ne u E u n-=，（p u p u u m m m m u +=）（c ）u 子偶素能级22414ne m E u n-=，（2u uu u u m m m m m u =+=）6.4）对于氢原子基态，计算p x ∆⋅∆。
解： * 在求坐标系中，空间反演：r r -→（ϕπϕθπθ+→-→-,,r r ）。
氢原子基态波函数为 021301001a rea -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=πψ （1）宇称为偶。
由于均为奇宇称算符，所以 0 ,0==x p x （2） 由于100ψ各向同性，呈球对称分布，显然有222222223131pp p p r zyxzy x ====== （3）容易算出 ()τψd r r 210022⎰=⎰2-2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθπd d r d r e a r a rs i n 10230203a = （4）=2p ⎰∇-τψψd 10021002()[]⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=τψψψψd 1001001001002⎰∇=τψd 21002⎰2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ϕθθψd drd r r sin 21002202a = （5）因此 2x20a =， 022a xx x =-=∆ （6）2223a p x=，0223a p p p xx x =-=∆ （7）3=∆⋅∆x p x （8）测不准关系的普遍结论是 2≥∆⋅∆x p x （9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。
而且3很接近式（9）规定的下限2。
6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区()a r 2>（即0<-V E ）的几率。
解：氢原子基态波函数为 area -⎪⎭⎫⎝⎛=2131001πψ，22uea=，相应的能量 a eue E 222241-=-=动能 ()reaeV E r T 2212+-=-=0<-=V E T 是经典不允许区。
由上式解出为a r 2>。
因此，电子处于经典不允许区的几率为⎰⎰⎰∞-=a ar d d dr r eap 2020223sin 1ππϕθθπ（令a r 2=ξ）⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=423324ξξξd ea a 2381.0134==-e6.6）对于类氢原子（核电荷Ze ）的“圆轨迹”（指1,0-==n l n r 的轨迹），计算 （a ）最可几半径； （b ）平均半径； （c）涨落[]2122rrr -=∆解：类氢原子中电子波函数nlmψ可以表示为()()()()ϕθϕθψ,1,lm l n lm l n nlmY r u rY r R r r == （1）（a ） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ()0=r u d rd l n r （2）决定。
1-=n l 时，0=r n 。
()naZr nn eCr r u --=1,0代入（2）式，容易求得 Z a n r 02=几 （4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。
（b ）在nlmψ态下，各λr 之间有递推关系（Kramers 公式）()()[]01241212222212=-+++-+--λλλλλλrZa l rZa r rn(5)（参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197） 在（5）式中令0=λ，注意到10=r 。
可设an Z rnlm21=(6)依次再取2,1=λ，得到()[]aZ l l nrnlm13212+-=)1(22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n l a Zn n （7）（c ）()[]222213512⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=a Z l l n nr nlm())1(22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n l a Z n n n （8）因此，r 的涨落[]2122rrr -=∆Z an n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4223 （9）121222+=+=∆n n n n rr （10）可见，n 越大，r r ∆越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。
6.7）设电荷为Ze 的原子核突然发生-β衰变，核电荷变成()e Z 1+，求衰变前原子Z 中一个K 电子（s 1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子()1+Z 的K 轨迹的几率。
解：由于原子核的-β衰变是突然发生的。
可以认为核外的电子状态还来不及变化。
对于原来的K 电子，其波函数仍未 ()aZrea Z r Z -⎪⎭⎫⎝⎛=213100,πψ （1） 而新原子中K 电子的波函数应为 ()()()arZ ea Z r Z 121331001,1+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+πψ （2）将()r Z ,100ψ按新原子的能量本征态作线形展开：()()r Z Cr Z nlmnlmnlm,,100∑=ψψ （3）则衰变前的s 1电子在衰变后处于新原子的()r Znlm,1+ψ态的几率为()()210021Z Z C p nlm nlmnlm ψψ+== （4）因此，本题所求的几率为=100p ()()()()()2212262332100100411drr e aZZZ Z a r Z +-+=+ππψψ()6363321111211-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Z Z Z Z Z（5）展开时保留到第三项当1>>Z ，上式可近似取成 2100431Zp -≈ （5’）例如， 10=Z , 9932.0100≈p ；30=Z , 9992.0100≈p 。
6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为()222ra e rer V λ--=（10<<<λ） （1）a 为Bohr 半径，求价电子的能级。
提示：令()()121''+=-+l l l l λ，解出()212'12812121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=l l l λ解：取守恒量完全集为()z L L H ,,2，其共同本征函数为()()()ϕθϕθψ,,,lm Y r R r =()()ϕθ,lm Y rr u =（2）()r u 满足径向方程()Eu u r a e r e ur l l u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-22222"2212λ（3） 令 ()()121''+=-+l l l l λ （4）式（3）就可以化为 ()Eu u r e ur l l u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-222''"2212（3’） 相当于氢原子径向方程中l 换成'l 。
所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。
后者能级为an eE n 222-=， 1++=l n n r ， ,2,1,0=r n （5）将l 换成'l ，即得价电子的能级：an eE nl 2'22-=，1''++=l n n r （6）通常令 l l l ∆+='（7）1'+∆++=l r l n n l n ∆+= （8）l ∆称为量子数l 和n 的“修正数”。