北京理工大学珠海学院2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 2234ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 223x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =分析：u x∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx∂=-∂，1P y ∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此1130xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。

试求232.xdydz yzdzdx z dxdy ∑-+⎰⎰分析：依题意，可令 23,2,P x Q yz R z ==-=，则有3,2,2P Q R z z x y z∂∂∂==-=∂∂∂ 所以，232()3P Q R xdydz yzdzdx z dxdy dv dv x y z ∑ΩΩ∂∂∂-+=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 又∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧，则有00201zz ρθπ≤≤≤≤≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，则有1223233zxdydz yzdzdx z dxdy dv dz d d πθρρπ∑Ω-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰四．解答下列各题（第1,2题每题6分，第3,4题每题5分，共22分）1.判断正项级数13(1)!n n n n ∞=+∑的敛散性。

分析：设3(1)!n n n a n +=，则113(2)(1)!n n n a n +++=+则有，113(2)3(1)!lim lim lim 013(1)1!n n nx x x nn a n n a n n ++→∞→∞→∞++===<++ ， 所以，正项级数13(1)!n n n n ∞=+∑是收敛的2.试将函数1()1f x x=+ （1）展开成x 的幂级数 （2）展开成x – 1 的幂级数.分析：（1）展开成x 的幂级数为：11()(1),(11)1n n n f x x x x ∞===--<<+∑（2）11111111()..(1)(),(11)112(1)222212n n n x x f x x x x ∞=--====--<<-++-+∑ 则展开成x–1的幂级数为：n+1111111().(1)()=(1)(1)=,(13)1222n nn n n n x f x x x x ∞∞==-==----<<+∑∑3.求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域及和函数.分析：因为 11lim lim (1)n n nx x na nx x a n x ρ++→∞→∞===+当1x <时级数收敛；当1x >时级数发散.所以收敛半径R=1. 则收敛区间为1x <，即11x -<<当x = 1 时，级数成为11n n∞=∑ ，这级数发散；当x = - 1 时，级数成为1(1)n n n ∞=-∑，这级数收敛.所以，原级数的收敛域为[ - 1, 1 ).设和函数为S(x)，即 1(),[1,1)nn x S x x n∞==∈-∑. 11101[()]'()',(1)1n n nn n n x S x x x x n x ∞∞∞-=======<-∑∑∑则01()ln(1),[1,1)1xS x dx x x x==--∈--⎰4.设()f x 连续，221:,0.x y u z πΩ+≤≤≤（1）试用柱面坐标化简三重积分22[()1].f x y dv Ω++⎰⎰⎰ （2）若22()[()1].f u f x y dv Ω=++⎰⎰⎰试求()f u .分析：（1）依题意，得00210z ρθππ≤≤≤≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，则12222220[()1](1)(1)(1)f x y dv dz d f d f d ππθρρρρρΩ++=+=++⎰⎰⎰⎰⎰（2）若22()[()1].f u f x y dv Ω=++⎰⎰⎰ 则有220()(1)(1)f u f d ρρ=++。