D
v v j，且在 D的边界曲线 L（正向）上有 xy
一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ
二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、 ( 1,
2,
1 2) ；3、 6 (1
e
1 ) ；4、 1 8
；5、
x y
y
C
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
24 2 6
2、设 z z
解： x
f (x
y, xy) 具有连续的二阶偏导数，求
2
x
z y
。
f1 yf2 ,
z y
f xf
1
2
2z
z
xy y x
f1 yf2
f1 y f2 f2
y
y
( f11 xf12 ) y( y f21 xf22 ) f2 f11 (x y) f12 xyf22 f2
3、将函数 f (x)
{13
,
2 3
,
2} {cos , cos , cos } 3
cos
1 3
,
cos
2 3
,
cos
2 3
f 从而 l
f cos x
f cos y
f cos
10
z
A(2,
=
1,1)
3
点 A 的梯度方向是l grad f A {2y,2x, 2z} A { 2, 4, 2}
f 所以方向导数的最大值是 l
22 42 22
8cost, y
8sint, z
t 对应 0
t
2 的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设 a
0 ，计算极限 lim
n
(1 a
2 a2
a33
n ) 的值。 an
2、计算 z dv ，其中 由不等式 z x2 y 2 及1 x2
3、计算 数。
axdydz (z a)2 dxdy ，其中 x2 y2 z
____________。
3、二重积分
1 dy
0
1 ye
y
x3 dx 的值为______________。
4、 设 空 间 立 体 所 占 闭 区 域 为 x y z 1, x 0, y 0 ， 上 任 一 点 的 体 密 度 是
(x, y, z) x y z ，则此空间立体的质量为____________。
分 (x 3 y cos3 x sin y)d ＝（ ）
D
A. 2 cos 3 x sin y d ； B. 2 x 3 yd ； C. 4 (x 3 y cos3 x sin y)d ； D.0
D1
D1
D
1
4、设 为曲面 x 2 y 2 R 2 (R 0) 上的 0 z 1部分，则 e x2 y2 sin(x2 y 2 )dS
5、微分方程 y
y x y 2 的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、已知 f (x, y, z) 2xy z 2 及点 A(2, 1,1)、 B(3, 1, 1) ，求函数 f (x, y, z) 在点 A 处沿由 A 到
方向的方向导数，并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。
1、已知 f (x, y, z) 2xy z 2 及点 A(2, 1,1)、 B(3, 1, 1) ，求函数 f (x, y, z) 在点 A 处沿由 A 到
方向的方向导数，并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。
B
f 2 y, f 2x, f 2z
解：由条件得 x
y
z
AB {1, 2, 2}
AB 0
2
为下半球面 z
y2 z 2 4 所确定。
a2
x2
y2 的下侧， a 为大于零的常
4、将函数 f (x) x ( 1 x 1) 展开成以 2 为周期的傅立叶级数。
5、设函数 f (x) 具有连续导数并且满足 f (1) 3 ，计算曲线积分 L ( y f 2 (x) x)dx (x 2 f (x) y)dy 的 值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线 L 是由 (1, 2) 到 (2, 1) 的任一条逐段光滑曲线。
＝（ ）。
A.0；
B. Re R sin R 2 ；
C. 4 R ；
D. 2 ReR sin R 2
5、设二阶线性非齐次方程 y
通解为（ ）。
A. x C1e x C2e2x ；
p(x) y
C. x C1 (e x e2x ) C2 (x e x ) ；
q(x) y f (x) 有三个特解 y1 x ， y2
B
2、设 z
f (x
y, xy) 具有连续的二阶偏导数，求
2
x
z y
。
3、将函数 f (x)
2
3 x
x2 展开成 x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设 y y(x) 满足方程 y
x
x 1相切，求函数
3y 2 y 2e ，且其图形在点 (0, 1)与曲线 y x2
y(x) 。
5、计算
L
x2
ds y2
z 2 ，其中 L 是螺旋线 x
高等数学（下）期末试题参考答案
一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、 f x (x0 , y0 ) 和 f y (x0 , y0 ) 存在是函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 连续的（ ）。
A.必要非充分的条件； C.充分且必要的条件；
B.充分非必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
B. C1 x C2e x C3e2x
；
D. C1 (e x e2x ) C2 (e2x x)
ex ， y3
e2x ，则其
二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数 f (x, y) 2x 2 ax xy 2 2 y 在点 (1, 1) 处取得极值，则常数 a ＝______。
2、 若 曲 面 x 2 2 y 2 3z 2 21的 切 平 面 平 行 于 平 面 x 4 y 6z 25 0 ， 则 切 点 坐 标 为
五、本题５分。
可选题 1、对 p
0 ，讨论级数
n
( 1n
1)n pn 1的敛散性。可 选 题 2、 设 D
x y x2 (, )
y2 1
，
u(x, y) 与 v(x, y) 在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ，
F v(x, y)i u(x, y) j, G
ux u i
y u(x, y) 1, v(x, y) y ，证明 F G d
3、设u ln(x2 y 2 z 2 ) ，则 div(grad u) ＝（
）。
1
2
1
2
A. x 2
y2
z 2 ；B. x 2
y2
z 2 ；C. (x2
y2
2
；D.
2
(x2
z)
y2
22
z)
3、设 D 是 xoy 面上以 (1,1), ( 1, 1), ( 1, 1) 为顶点的三角形区域， D1 是 D 中在第一象限的部分，则积
2
3 x
x2 展开成 x 的幂级数，并指出收敛域。