高数A2复习试题及答案
一、单项选择题
1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则x
b x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6
π，则 。

A 、236
cos ),(00==π
y x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336
),(00=
=πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。

3．0lim =∞→n n u
是级数∑∞=0
n n u 发散的 。

A 、 必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤
≤上的σd xy D ⎰⎰2值为 。

A 、2R π； B 、24R π； C 、3
32R π； D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。

A 、x y 2=；
B 、2x y =；
C 、x y 2-=；
D 、2x y -=。

二、
是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 2
2=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x
∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为
σd y x f D ⎰⎰),(。

（ ） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。

（ ）
1． 微分方程的通解包含了所有的解。

（ ）
三、计算题（16分）
1． 设),(22xy
e y x
f -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。

2． 已知1=++xy zx yz ，确定的),(y x z z =，求dz 。

四、（10分）求
⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22的值，其中Ω为曲面z y x 222=+和平面2=z 所围成的区域。

五、（12分）验证：
22y x ydx xdy +-在右半平面)0(>x 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。

六、（10分）求dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑
，其中∑为22y x z +=和1=z 所围立体边界的外侧。

七、（12分）求微分方程⎪⎩
⎪⎨⎧='==++''1)(1)(02sin ππy y x y y 的特解。

八、（10分）求∑∞
=+01n n
n x 的和函数。

参考答案
一、单项选择题（15分，每题3分）
1、 D ；
2、C ；
3、A ；
4、D ；
5、B 。

二、是非判断题（15分，每题3分）
1、×；
2、×； 3∨、； 4、∨； 5、×。

三、计算题（16分）
1．xy ye f x f x
u 212'+⋅'=∂∂……4分 xy xy xy xy xy xye f e f xe f y f ye xe f y f x y
x u 22222112112])2([])2([2'+'+''+-''+⋅''+-''=∂∂∂ 2222221212211
222f xye f e f xye f e y f e x f xy xy xy xy xy xy '+'+''+''-''+''-=……10分 2．1-++=xy zx yz F ……1分
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x
y F x z F y z F z y x ……3分
x
y y z F F x z z x ++-=-=∂∂∴ x
y x z F F y z z y ++-=-=∂∂∴……5分 ])()[(1dy z x dz z y y
x dz ++++-=∴……6分 四、(10分)
dz d d dxdydz y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω2022320222)(ρπρρθ……6分 3
16π=……10分 五、（12分）22y x y P +-=
22y x x +=θ =+-=∂∂2
222
2)(y x x y y P x ∂∂θ……4分 在右半平面内恒成立，因此在右半平面内22y
x ydx xdy +-是某个函数的全微分……6分 ⎰+-=)
,()0,1(2
2),(y x y x ydx xdy y x u ……8分 x y arctg y x y arctg y x xdy y
==+=⎰002
2……12分 六、（10分）dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑dxdydz z x )22(⎰⎰⎰Ω
+=……4分 ⎰⎰⎰+=11020)cos (2r
dz z r rdr d θθπ……8分 3
2π=……10分 七、（12分）012=+r
i r ±=∴……2分
设此方程的特解为：x B x A y 2sin 2cos *
+=代入原方程得 x x B x A 2sin 2sin 32cos 3-=--
⎪⎩
⎪⎨⎧==∴310B A ……6分
故此方程的通解为：x x c x c y 2sin 3
1sin cos 21+
+=……10分 代入初始条件 31,121-=-=c c ∴ 特解为：x x x y 2sin 3
1sin 31cos +--=……12分 八、（10分）121lim =++=
∞→n n n ρ 1=∴R ……2分 从而收敛域为)1,1[- 设∑∞
=+=01)(n n
n x x S =∴)sin(x x ∑∞
=++01
1n n n x ='∴))((x xS x
x n n -=
∑∞=110 )1(<x )1ln(11)(0x dx x
x xS x
--=-=∴⎰ )11(≤≤-x ……8分 ∴ 当0≠x 时，有)1ln(1)(x x
x S --= 1)()0(lim 0
==→x S S x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0
,1)1,0()0,1[),1ln(1)(x x x x x S ……10分。