24．1．2 垂直于圆的直径授课题目：垂直于圆的直径课型：新授课授课对象：九年级学生授课学时：1课时（45分钟）参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键圆的轴对称性的理解四、教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计目的情景创设情景创设（1分钟）情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
回顾旧识回顾旧识（2分钟）我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
师生互动师生互动（4分钟）运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系猜想：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质探求新知探求新知（5分钟）提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，A B⊥CD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
<进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）探索：证明：连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB∴△OAE≌△OBE则AE=BE∴CD所在的直线垂直平分弦AB当把⊙O沿着直径CD折叠时，A点和B点重合所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果概念辨析概念辨析（2分钟）（电脑显示）练习1 AE=EB吗？（1）（2）（3）注意：直径，垂直于弦，缺一不可！图（1）直径不垂直弦图（2）垂直弦的不是直径图（3）AB为弦，CD为直径，AB⊥CD满足垂径定理运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件运用新知运用新知（18分钟）练习1：（5分钟）一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。
求截面圆心O到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。
（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。
总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示解：:作OC⊥AB于C,由垂径定理得:AC=BC= AB= ×16=8由勾股定理得:答:截面圆心O到水面的距离为6.这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。
练习2（5分钟）（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（练习本做、电脑显示）解：如图，设半径为R练习上一结束后，返回情景问题，解决这道之前不能完成的题目，EOC DABEA BCDEOA BDC2222OC OB BC1086=-=-===ABAD21,7.184.3721=⨯DCOCOD-=.2.7-=R在Ｒt ⊿AOD 中，由勾股定理，得解得 R ≈27.9（m ） 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。
练习3：（3分钟） 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
注意：作辅助线（学生识图、练习本做、电脑显示） 证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，则AE ＝BE ，CE ＝DE 。
AE －CE ＝BE －DE 。
所以，AC ＝BD这是证明线段相等的变式题，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。
练习4（5分钟） 出示分层训练：１．如图1，已知AB 、CD 是圆O 的两条弦，OE 、OF 分别为AB 、CD 的弦心距，如果AB=CD ，则可得出什么结论（至少写出两个）？并证明。
２．已知如图2：在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D 、全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目 调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。
,222OD AD OA +=.)2.7(7.18222-+=R R 即OABCDE 为垂足。
求证：四边形ADOE 为正方形。
３．如图3，不过圆心的直线L 交⊙O 于CD ，AB 是⊙O 直径。
AE 、BF 分别垂直于L ，垂足是E 、F 。
⑴求证：CE=DF⑵若AB 与CD 相交，⑴的结论还成立吗？EFDOABC图1 OD E C AB图2lMFED A OBC图3拓展升华（3分钟）如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论学生自主探证通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标九、板书设计。