杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
横截面上的内力与应力
TSINGHUA UNIVERSITY
很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上 的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 F Nx A 其中 FNx— 横截面上的轴力，由截面法求得； A—横截面 面积。
根据平衡方程
F
有
n
0
F
t
0
dA x dAcos cos 0 dA x dAcos sin 0
据此可以得到与前面完全相同的结果。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
＝
TSINGHUA UNIVERSITY
力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分 解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
x
Δl l
x FP / A
FPl Δl x ＝ EA x l l E

拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
Δl x l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆 件各处均匀变形的情形。 对于各处变形不均匀的情形，
TSINGHUA UNIVERSITY
必须考察杆件上沿轴向的微段 dx的变形，并以微段 dx的相对 变形作为杆件局部的变形程度。
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
TSINGHUA UNIVERSITY
FP l Δ l EA
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的 胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料 的弹性模量，它与正应力具有相同的单位； EA称为杆件的 拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中 “＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。
FNx1＝400kN
FNx 2＝－ 100kN
TSINGHUA UNIVERSITY
FNx3＝200kN

应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 轴力和正应力 AB段： FNx1＝400kN
BC段： CD段：
FNx 2＝－ 100kN
TSINGHUA UNIVERSITY
FNx3＝200kN
拉、压杆的变形分析
TSINGHUA UNIVERSITY
相对变形 正应变

拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
FP l Δ l EA
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变， 用 x 表示。
TSINGHUA UNIVERSITY
强度设计概述 拉伸和压缩时材料的应力一应变曲线 常温、静载下材料的力学性能 强度失效与失效控制 强度计算过程与算例 结论与讨论
TSINGHUA UNIVERSITY
第3章 最简单材料力学问题
TSINGHUA UNIVERSITY
返回总目录
杆件在轴向载荷作用下 的内力与应力
返回

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相 邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面 上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应 力和切应力分别为
＝
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
进而，求得各段横截面上的 正应力分别为： AB段： BC段： CD段：
x1
x2
x3
FNx1 400 10 3 6 ＝ 160 10 Pa 160MPa 6 A1 2500 10
FNx 2 －100 10 3 ＝ －40 10 6 Pa －40MPa 6 A2 2500 10
A cos
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
A ＝
其中，x为杆横截面上的正应力;Aθ 为斜截面面积

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的 微元而求得。

拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
TSINGHUA UNIVERSITY
设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向 载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l 与杆所承 受的轴向载荷成正比。 写成关系式为
Δ l
FP l EA


拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
TSINGHUA UNIVERSITY
这时
x
Δdx ＝ dx FP dx EA x dx
x
E
可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
拉、压杆的变形分析
TSINGHUA UNIVERSITY
横向变形与泊松比

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿 斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为 。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总 内力

杆件在轴向载荷作用下பைடு நூலகம்内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单 元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力 x 。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力 和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。
＝ x sin 2
x1 160MPa AB段杆横截面上的正应力为 ：
与杆轴线夹 45°角 ( 逆时针方向 ) 斜截面， ＝ 45°，其上之正 应力和切应力分别为 ：
45 ＝ x1 cos 2＝160 cos 2 45 MPa＝80MPa

45 ＝ x1sin 2 ＝ 160 sin 2 45 MPa＝80MPa
第3章 最简单材料力学问题
TSINGHUA UNIVERSITY
第3章 最简单材料力学问题
TSINGHUA UNIVERSITY
斜拉桥承受拉力的钢缆
第3章 最简单材料力学问题
斜拉桥承受拉力的钢缆
TSINGHUA UNIVERSITY
第3章 最简单材料力学问题


杆件在轴向载荷作用下的内力与应力 拉、压杆的变形分析 应力与变形算例
FNx 3 200 10 3 6 ＝ 200 10 Pa 200MPa 6 A3 1000 10

应力与变形算例
例 题 1
解：2．计算AB段杆斜截面上的正应 力和切应力 应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的 应力公式 ：
＝ x cos 2
1 2
TSINGHUA UNIVERSITY
量纲量。
第3章 最简单材料力学问题
TSINGHUA UNIVERSITY
返回总目录
应力与变形算例
返回
应力与变形算例
例 题 1
已知 : 阶梯形直杆受力如图 示。材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝ 2500mm2 ， A3 ＝ 1000mm2 ； 杆各段的长度标在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面 上的正 应力； 2 ． 杆 AB 段 上 与 杆 轴 线 夹 45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力；杆的总伸 长量。
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横 截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有 切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的 正应力和切应力各不相同。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
TSINGHUA UNIVERSITY

应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 正应力 因为杆各段的轴力不等，而且 横截面面积也不完全相同，因而， 首先必须分段计算各段杆横截面 上的轴力。分别对 AB、BC、CD 段杆应用截面法，由平衡条件求 得各段的轴力分别为： AB段： BC段： CD段：

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
TSINGHUA UNIVERSITY
拉、压杆件斜截面上的应力

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和 一斜置小方格
受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置 小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在 拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面 方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的 切应力有关。
拉、压杆件斜截面上的应力
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ