FPcr
π 2 EI
l 2
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cr
FPcr A
p
其中σcr称为临界应力(critical stress)； σp为 材料的比例极限。
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第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判 断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当临界 载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范 围，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式。 这些都会给计算带来不便。
压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入 塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。
粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈
曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
用长细比表示的细长杆临界应力公式
π 2 EI
cr
FPcr A
l 2 π 2 E
A
2
长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝ l
i
i I A
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条 件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
FP FP>FPcr :在扰动作用下， FPP 直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
刚性曲面
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
平衡路径及其分叉
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
FP<FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr :
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
π 2 EI
FPcr l 2
其中l为不同压杆屈(a)曲后挠曲线(b)上正弦半波(c)的长度，称(d)为 有效长度(effective length)； 为反映不同支承影响的系
数，称为长度系数（coefficient of 1ength）。
FPcr
π 2 EI
l 2
第9章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界载荷的影响
压杆稳定的基本概念 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响 临界应力与临界应力总图 压杆稳定性设计的安全因数法 结论与讨论
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡路径及其分叉 细长压杆临界点平衡的稳定性
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念 三类不同压杆的不同失效形式 三类压杆的临界应力公式 临界应力总图与P、s值的确定
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。 这就要求在分叉载荷即临界载荷作用下， 压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正 应力小于或等于材料的比例极限，即
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屈曲位移
FP
FP
压杆从直线平衡构形到
弯曲平衡构形的转变过
程，称为“屈曲”。由
于屈曲，压杆产生侧向
Δ
位移，称为屈曲位移。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
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FFPP FP
=0
平衡路径及其分叉
FFFPPP
分叉点
FP
FP>FPcr
第9章 压杆的稳定问题
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两端铰支压杆的临界载荷 欧拉(Euler)公式
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第9章 压杆的稳定问题
FP
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
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分叉点
FPcr
FP
平衡路径
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 Δ0时FPFPcr。这表明， 当FP无限接近分叉载荷 FPcr时，在直线平衡构形 附近无穷小的邻域内，存 在微弯的平衡构形。根据 这一平衡构形，由平衡条 件和小挠度微分方程，以 及端部约束条件，即可确 定临界载荷。
第9章 压杆的稳定问题
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压杆稳定的基本概念
平衡路径及其分叉
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意 微小的外界扰动下，压杆都要由直线的
分叉点
FP
平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一
过程称为屈曲（buckling）或失稳 （lost stability）。对于细长压杆，由 于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所
(临界点)
F´P
FPcr
平衡路径
Δ FP<FPcr
Δ O
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FP
压杆稳定的基本概念
FP
平衡路径及其分叉
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=0
FP
平衡路径 平衡路径的分叉点：
分叉点
平衡路径开始出现分叉
的那一点。
FPcr
平衡路径
Δ O
分叉载荷（临界载荷）：
分叉点对应的载荷，用FPcr 表示。
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第9章 压杆的稳定问题
由于设计上的原因，加拿大魁北克大桥 在实际承载重 量远低于设计承载重量的情形下发生两次坍塌事故。
第一次，1907年8月29日，死亡人数75人 第二次，1916年9月11日，死亡人数不详
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第9章 压杆的稳定问题
FPcr
平衡路径
以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。
Δ O
稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为 临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点 开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所 对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷 （bifurcation load），用FPcr表示。
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(a)
两端铰支
(a＝()b1).0
一端自由， 一端铰支，
一(端b((c)a固)) 定 一端(c(固)(db)定)
两端固定
＝(d0().c5)
(
＝2.0
＝0.7
第9章 压杆的稳定问题
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临界应力与临界应力总图
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能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将 发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的 非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？ 回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进 长细比（slenderness）的概念。
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第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
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第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
三类不同压杆的不同失效形式
细长杆——长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发
生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正 应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。
长中杆——长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时，
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
工程构件稳定性实验
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压杆稳定的基本概念
工程构件 稳定性实验
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
压杆稳定性实验
第9章 压杆的稳定问题
直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形，扰动除去后，
能够恢复到直线平衡构形，
则称原来的直线平衡构形
是稳定的。
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
材料力学
(9)
清华大学出版社
2020年4月16日
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第9章 压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零
的条件是他们的系数行列式等于零：
01 0
sinkl coskl
sinkl 0
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两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
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sinkl 0 kl nπ, n 1,2,,