I y + Iz
−
= ( 9.422 − 8.223) ×106 = 1.199 × 106 mm 4 = 1.199 × 10−6 m 4 Iz0 = I y + Iz 2 I y + Iz + 1 2 −
(I
y
− I z ) + 4 ( I yz )
2
2
I y0 =
= ( 9.422 + 8.223) × 106 = 1.765 × 107 mm 4 = 1.765 × 10−5 m 4
组合图形对于 z 轴的惯性矩：
Iz =
其中
⎛ 100 × 803 π642 ⎞ − 2 ⎜1.15 × 105 + a 2 × ⎟ 12 8 ⎠ ⎝
a = 40 −
代入上式后，算得
2 × 64 = 26.4 mm 3π
Iz =
⎛ 100 × 803 π642 ⎞ 6 4 − 2 ⎜1.15 ×105 + 26.42 × ⎟ = 1.792 × 10 mm 12 8 ⎠ ⎝
解：若用右手系，z 轴坐标朝上为正，则由 h1 = b1 得
—7—
习题 6－7 图
3 S y (I) = b1h12 > 0 ， S y (II) = −2b1h12 < 0 2
若考虑正负号，正确答案是 A；若考虑静矩的绝对值，则正确答案为 B。
6－8 图示矩形中 y1、z1 与 y2、z2 为两对互相平行的 坐标轴。试判断下列关系式中，哪一个是正确的。
2、计算 Iz 取微面积如图 b 所示:
⎛ y⎞ dA = −h( y )dy = −h ⎜ 1 − ⎟ dy ⎝ b⎠
I z = −∫
3、计算 Iyz 由图 b，
−b
0
hb3 ⎛ y⎞ y h ⎜ 1 − ⎟ dy = 12 ⎝ b⎠
2
I yz = ∫ yzdA = ∫ yzb( z )dz
A A
(A) ( B) ( C) ( D)
正确答案是 C
I y 2 z 2 = I y1z1 > 0; I y 2 z 2 < I y1z1 = 0; I y 2 z 2 > I y1z1 = 0; I y 2 z 2 = I y1z1 < 0.
。
习题 6－10 图
6－11 半圆形截面如图所示，其 C 为形心。关于截 面对 y、z 轴的惯性矩，有下列结论，试判断哪一个是正确的。
b( z ) =
b z h b( z ) b y=− =− z 2 2h
—3—
b2 h2 ⎛ b ⎞ ⎛b ⎞ I yz = ∫ yzb( z )dz = ∫ ⎜ − z ⎟ z ⎜ z ⎟ dz = − A 2h ⎠ ⎝ h ⎠ 8 0⎝
h
6－2 试确定图中所示图形的形心主轴和形心主惯性矩。 解： （a）题：
（b）题： 先求图形心位置：z 轴为对称轴，所以形心必在 z 轴上。 yC = 0
—4—
100 × 60 × ( −20 ) − 0 = 25.3 mm π × 402 100 × 60 − 4 3 100 × 60 π × 404 Iz = − = 1.674 × 106 mm 4 12 64 3 ⎛ 60 ×100 ⎞ ⎛ π × 404 π × 402 ⎞ Iy = ⎜ + 5.32 × 100 × 60 ⎟ − ⎜ + 25.32 × ⎟ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 64 zC = = ( 5.0 + 0.1674 ) ×106 − ( 0.1256 + 0.8044 )×106 = 4.239 × 106 mm 4
(A) ( B) ( C) ( D)
S z 1 = − S z 2 , S y1 = − S y 2 , I y1 z 1 = I y 2 z 2 ; S z 1 = − S z 2 , S y1 = − S y 2 , I y1 z 1 = − I y 2 z 2 ; S z 1 = − S z 2 , S y1 = S y 2 , I y1 z 1 = I y 2 z 2 ; S z 1 = S z 2 , S y1 = S y 2 , I y1 z 1 = − I y 2 z 2 .
I yz = I yz (1) + I yz ( 2 ) + I yz ( 3) = 0 + 2 I yz ( 2 ) = 0+ 2⎡ ⎣0 − ( 20 × 70 × 70 × 30 ) ⎤ ⎦ = 2 × −49.6 ×104 = −5.88 × 106 mm 4
3、确定形心主轴与 z 轴的夹角
6－3 几何图形尺寸如图所示（单位为 mm） 。试： 1、 确定形心主轴与水平方向的夹角； 2、 确定形心主惯性矩。
(a) 习题 6－3 图
(b)
解：1、确定形心位置 将组合图形分解为 1、2、3 三个矩形。根据反对称性，矩形 1 的形心 C1 即为组合图形 的形心。 2、建立初始坐标系，确定组合图形对于初始坐标系的惯性矩与惯性积 以 C1 为坐标原点，奖励 C1zy 坐标系，利用叠加的方法，求组合图形对于 z、y 轴的惯 性矩与惯性积
b ⎡ ⎤ I z = 2 ⎢ I z 1 + ( y0 + ) 2 A ⎥ 2 ⎣ ⎦
习题 6－4 图
—6—
若 Iy = Iz，则
b I y 1 = I z 1 + ( y0 + ) 2 A 2 ⎛ I −I ⎞ ⎛ 1780.4 − 128 ⎞ 2.01 b = 2 ⎜ y1 z1 − y0 ⎟ = 2 ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ = 11.11 cm=111.1mm ⎜ ⎟ 28.83 A ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 1 I y − I z ) + 4 ( I yz ) ( 2 2 2 2⎤ ⎡ 3.674 + 15.17 1 × 106 =⎢ + ( 3.674 − 15.17 ) + 4 ( −5.88) ⎥ 2 2 ⎣ ⎦
6－4 图中所示组合截面为两根 No.20a 的普通热轧槽 形钢所组成的截面，今欲使 Ix = Iy，试求 b =？（提示：计算 所需要数据均可由型钢表中查得。 ） 解：由型钢表查到 No.20a 普通热轧槽钢 Iy1 = 1780.4 cm4，Iz1 = 128 cm4 yO = 2.01cm，A = 28.83cm2 Iy= 2Iy1
(a) 习题 6－2 图
(b)
图中 y、z 即为形心主轴
Iy =
80 ×1003 π 644 − = 5.84 ×106 mm 4 12 64
2
半圆对于自身形心轴的惯性矩：
I z′ =
π 644 ⎛ 2 × 64 ⎞
π642 −⎜ × = 1.15 × 105 mm 4 ⎟ 128 ⎝ 3π ⎠ 8
—8—
(A)
πd 4 πd 4 ⎛ 2d ⎞ πd 2 I y = Iz = , I y1 = ; +⎜ ⎟ 64 64 ⎝ 3π ⎠ 8 πd 4 πd 4 ⎛ 2d ⎞ πd 2 , I y1 = ; +⎜ ⎟ 128 128 ⎝ 3π ⎠ 8
2 ⎛ 2d ⎞ πd ; −⎜ ⎟ ⎝ 3π ⎠ 8 2 2 2
D 。
习题 6－5 图
解：正确答案是
6－6 图示 T 字截面中 z 轴通过组合图形的形心 C，两个矩形分别用 I 和 II 表示。试判 断下列关系式中哪一个是正确的。
(A) ( B) ( C) ( D)
S y ( I ) > S y ( II ) ； S y ( I ) = S y ( II ) ； S y ( I ) = − S y ( II ) ； S y ( I ) < S y ( II )。
2
( B) I y = I z = ( C) (A)
解：正 = I y = Iz = 128 128 I y = Iz =
C 。
πd 4 πd 4 ⎛ 2d ⎞ πd 2 , I y1 = −⎜ 。 ⎟ 64 64 ⎝ 3π ⎠ 8
习题 6－11 图
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—9—
I y = I y (1) + I y ( 2 ) + I y ( 3) = ⎡ 70 × 203 ⎤ 120 × 103 + 2⎢ + 20 × 70 × 302 ⎥ 12 ⎣ 12 ⎦
(
)
= 1× 104 + 2 57.2 × 104 + 126 × 104 = 3.674 × 106 mm 4
—5—
(
)
I z = I z (1) + I z ( 2 ) + I z ( 3) ⎡ 20 × 703 ⎤ 10 × 1203 = + 2⎢ + 702 × 20 × 30 ⎥ 12 ⎣ 12 ⎦
(
)
= 1.44 ×106 + 2 4.667 × 104 + 6.86 × 106 = 15.17 × 106 mm 4
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
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材料力学习题详细解答
教师用书
(第 6 章)
2006-01-18
—1—
习题 6－1 习题 6－3 习题 6－5 习题 6－7 习题 6－9
习题 6－2 习题 6－4 习题 6－6 习题 6－8 习题 6－10
习题 6－11
—2—
第 6 章 梁的弯曲问题（2）截面的几何性质
6－1 图示的三角形中 b、h。试用积分法求 Iz、Iy、Iyz 。 解：1、计算 Iy 取微面积如图 b 所示：
(a)
(b) 习题 6－1 图
(c)
dA = b ( z ) dz , b ( z ) =