正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0， 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后 我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为 正项级数的收敛性问题. 2.正项级数收敛的充要条件 定理1 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
n 1
注: 其重要性并不在于利用它来直接判别正项级数
(n a ) 例6 判别级数 的敛散性. n a n n1 n n n a a n 1 1 n (n a ) n n u , 解 记 n n a n a a n n n n 1 v , 因 采用比较法的极限形式, 取 n a n n un a a e 0, lim lim 1 n v n n n 1 所以原级数与级数 a 具有相同的敛散性, 从 n1 n
解
3

lim n
n
sin
n 1. 3 6 n
因级数 收敛, 所以原级数也收敛. n1 n
注: 从以上解答过程中 可以看到极限中的某些等价 无穷小在级数审敛讨论时十分有用的。事实上级数 的收敛性取决于通项 un 趋向于零的“快慢”程度.
u 与v
n 1 n n 1


n
有相同的敛散性.
5.极限判别法：
推论1 设 un为正项级数.

nu , (1) 若 lim nun l 0 或 lim 则级数 n n n
n 1
u
n 1

n
发散;
n 1
p lim n ( 2) 若 p 1, 而 n un 存在, 则级数 un 收敛.
的收敛性, 而在于它是证明下列一系列判别法的基
础.
3.比较判别法

定理2 设 un , v n均为正项级数, 且
n 1 n 1

un vn ( n 1,2,).
(1) 若
v
n 1 n 1

n
收敛, 则
u 收敛;
n 1 n n 1

( 2) 若 un 发散, 则 v n 发散.

比较判别法是一基本方法，虽然有用，但应 用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要 求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此 介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法.
4.比较判别法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
n
而知
( n a )n 当 a 1 时, 级数 收敛; n a n n1 ( n a )n 当 a 1 时, 级数 发散. n a n n1

的敛散性. 例7 判别级数 sin n n1 n

作比较. 解 选取级数 n1 n
即sn有界, 则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 故有：P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明：级数
n 1

1 是发散的. n( n 1)
1 1 1 , 证明： 而级数 发散, n( n 1) n 1 n 1 n 1 1 级数 发散. n1 n( n 1)
正项级数的判别法
在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性.如果级 数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它 的和或和的近似值,但是除了少数几个特殊的级数，在一 般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难 的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行， 这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些 方法称为审敛法. 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论.
( 2) 当 l 0 时, 取 1, 则存在正数 N , 当 n N un u 时, 有 1, 得 n 1, 即 un v n , vn vn
由比较判别法即可得证. 注: 在情形 (1) 中, 当 0 l 时, 可表述为:
若 un 与 lv n 是 n 时的等价无穷小, 则级数
1 ln 1 1 ln n 1 1 n n lim n n 1. 从而 lim n n 1 2 1 2 2 n n 由级数 12 的收敛推知本题所给级数也收敛. n1 n
6.比值判别法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
un 1 (数或 ) 定理3 设 un 是正项级数, 如果 lim n u n 1 n 则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
n dx 1 2.当p 1时,由图可知 p n1 x p n 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n o 2 dx n dx 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) p x
1
2
3
4
x
1 1
n
1 1 1 dx 1 (1 p1 ) 1 p p1 n p1 x
1 (1) sin ; n n 1


例5 判定下列级数的敛散性:
1 ln 1 ; n 1 1 cos . ( 2 ) (1) 2 n n n1 n1 1 ~ 1 ( n ), 故 1 解 (1) 因 ln 2 n n2 2 2 2 1 1 1 lim n lim n u lim n ln 1 n 2 2 n n n n n




则(1) 当 0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1


(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1


un 证明 (1) 由lim l n v n
n 1 n 1 n 1


注: 注意到级数的每一项同乘不为零的常数 k , 以及 去掉级数前面有限项不改变数的收敛性, 可知定理 的条件可减弱为
un Cv n (C 0 为常数, n k , k 1,).
比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对于给定的正项级数, 如果要用比较判别法来判别 其收敛性, 则首先要通过观察, 找到另一个已知级 数与其进行比较, 并应用定理2进行判断, 只有知道
例 4 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
根据极限判别法, 知所给级数收敛. ( 2) 因为 lim n 3 / 2 un lim n3 /2 n 1 1 cos n n n 2


lim n n
2
2 1 n 1 1 , n 2 n 2
根据极限判别法, 知所给级数收敛.
证 设 un、 vn 的部分和分别为 An、Bn , 则有
n 1 n 1
An u1 u2 un v1 v2 vn Bn ,
An u1 u2 un v1 v2 vn Bn ,
(1) 若 v n收敛, 则其部分和数列 { Bn }有界, 从而
l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
l 3l 即 vn un v法的推论, 得证.
un 1, 时, 有 vn
由比较判别法即可得证. ( 3) 当 l 时, 取 M 1, 则存在正数 N , 当 n N 即 un v n ,
2n 1 例3 判别级数 2 2 的敛散性. n1 ( n 1) ( n 2)
解 运用比较判别法. 因

2n 2 2n 1 ( n 1)2 ( n 2)2 ( n 1)2 ( n 2)2 2 2 , 3 3 ( n 1) n
1 而 3 是收敛的, 所以原级数收敛. n1 n
其收敛性, 则首先要通过观察, 找到另一个已知级 数与其进行比较, 并应用定理2进行判断, 只有知道
一些重要级数的收敛性, 并加以灵活应用, 才能熟
练掌握比较判别法.
比较判别法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 解 1.当 0 p 1 时, p , 则P 级数发散. n n y
比值判别法的优点: 不必找参考级数.直接从级数本身的 构成——即通项来判定其敛散性。 证明

当为有限数时, 对 0,
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(当n N时)
un1 即 (当n N时) un 1 1.若 1,可取 1 (如 使r 1, ）， 2
例8 判别级数 由于
1 ln n 1 的敛散性. n n1 n 解 令 u( x ) x ln(1 x ) 0( x 0), v ( x ) x 2 .

1 1 x ln(1 x ) 1 1, 1 x lim lim lim x 0 2(1 x ) x 0 x 0 2 2x x2