高考数学必胜秘诀
立体几何
几何法处理线面平行垂直方法
1、直线与平面平行的判定和性质：
（1）判定：
①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

（2）性质：
如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。

在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。

2、直线和平面垂直的判定和性质：
（1）判定：
①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

（2）性质：
①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。

②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

3、直线和平面所成的角：
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

（2）范围：[0,90]o o
；
（3）求法：作出直线在平面上的射影；
（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

4、两个平面平行的判定和性质：
（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、二面角：
（1）平面角的三要素：
①顶点在棱上；
②角的两边分别在两个半平面内；
③角的两边与棱都垂直。

（2）作平面角的主要方法：
①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
②垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：[0,]π；
（4）二面角的求法：
①转化为求平面角；
②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ⋅射原＝，其中θ为平面角的大小。

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。

6、两个平面垂直的判定和性质：
（1）判定：
①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−
−−←→−←→−
你熟悉下列结论吗？
⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；如果其中两条交线平行，那么第三条交线也和这两条直线平行。

⑵从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
⑶AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，AC 和AB 的射影AB '成2θ，设∠BAC=3θ, 则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；
⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；
⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则cos 2α+
cos 2β+cos 2γ=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2。

⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为θ，则cos S S θ⋅侧底＝。

⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内⇔顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。

⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。

（9） 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则
2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BD
θ+-+=⋅. (10)异面直线上两点距离公式
d
d =
d ='E AA F ϕ=--）.
(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'
AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).
(11)球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a ,.
空间向量基础知识
1.共线向量定理
对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．
P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔
(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r . ||AB CD ⇔AB u u u r 、CD uuu r 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =u u u r u u u r 且AB CD 、不共线.
2.共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．
推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r ，
或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r .
3.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （x y z k ++=），
则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、
A 、
B 、
C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．
C A B 、、、
D 四点共面⇔AD u u u r 与AB u u u r 、AC u u u r 共面⇔AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ⇔
(1)OD x y OA xOB yOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r （O ∉平面ABC ）.
4.空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．
推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，
y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .
5．空间的线线平行或垂直
设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则
a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔12121
2x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；
a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.。