第 十三 章 能 量 法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。

A 应变能相同，自由端扭转角不同；
B 应变能不同，自由端扭转角相
同；
C 应变能和自由端扭转角均相同；
D 应变能和自由端扭转角均不同。

（图1）
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为θ，
若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。

A 不做功； B 做正功；
C 做负功，其值为θM ；
D 做负功，其值为θM 2
1。

3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F 、
M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先
加M ，后加F 。

在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。

A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。

4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F 作
用。

若已知杆的拉压刚度为，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为
EA
Fl
μ，l 为杆件长度。

（提示：
在杆的轴向施加另一组拉力F 。

）
A 0；
B EA
Fb ；
C
EA
Fb ； D 无法确定。

（图3）
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为相等。

试求节点C 的水
平位移。

解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。

由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。

(
)()
EA
a
P EA
Pa EA Pa P C 22222212
2
2
2
++=∆
可得出：()
EA
Pa
C
122+=
∆ 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。

在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。

则C 点水平位移为：()
EA
Pa
C 122+=
∆
2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为，抗弯刚度均为。

试求
A 截面的铅直位移。

解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。

h Fl Fl l h Fl l l Fl EI A 233
1
3221+=⋅⋅+⋅⋅=
∆ 如果考虑轴力影响，则各杆的内力如下表所示。

EA Fh
dx EA F dx EA N N dx EA N N h h BC BC l
AB AB AN
=--+=+=∆⎰⎰⎰202010)1)((0
故A 点总的铅直位移为：
EA
Fh
EI h Fl Fl A ++=∆3323
3．试求图示悬臂梁B 截面的挠度和转角（梁的为已知常数）。

B
解：应用图乘法，在B 点分别加单位力和单位力偶。

它们的内力图如图所示。

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⋅
=∆4642
313
2
a l qa a l qa a EI B
6
12313
2qa qa a EI B =
⋅⋅=θ
4．图示刚架，已知与。

试用莫尔积分法或图乘法计算B 截面的
垂直位移和转角θB 。

解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在B 点分别加单位力和单位力偶。

它们的内力图如图所示。

852432314
22qa a a qa a qa a EI B =
⋅⋅+⋅⋅=∆
3
21212313
22qa a qa qa a EI B =
⋅⋅+⋅⋅=θ
如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。

5．如图所示刚架受一对平衡力F 作用，已知各段的相同且等于
常量，试用图乘法求两端A 、B 间的相对转角。

Fa
B
A
Fa
Fa
1
1
解：应用图乘法，在A 、B 点加一对单位力偶。

它们的内力图如图所示。

221212
1
Fa a Fa a Fa EI AB =⋅⋅+⋅⋅⋅=
θ
6．图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为。

试计算B 截面的水平
位移和C 截面的转角。

P
A
Pl Pl-M
解：应用图乘法，在B 截面加一水平单位力，在C 截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。

()2331
232213221Ml Pl l l M Pl l l Pl l l Pl EI B -=⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅=∆ ()()l M Pl l M Pl EI AB
-=⋅⋅-=3
1
3221θ。