a
a
Pa3 6 EI
(
)
④ B点转角：（加单位力偶）
A x1 C 1 x2 B
x1 M ( x1 ) 2a
a
a
a
x2 M ( x2 ) 1 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0
1 EI
a
a
5qa4 24EI
a
(
)
M ( x1 ) M ( x1 ) 或：d C 2 dx1 EI 0
④ C点转角: （加单位力偶） A x1 C 1 x2
B
a
a
a
x1 M ( x1 ) 2a x2 M ( x2 ) 2a
a M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x 2 ) C dx1 dx2 EI EI 0 0

M 2 ( x) dx 1 f A L 2 EI

[ M ( x) M ( x)]2 dx 2 EI L
M ( x) M ( x) 1 f A dx EI L

M ( x) M ( x) fA dx EI L

莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
二、莫尔定理的普遍形式
T ( x )T ( x ) FN ( x) FN ( x) dx L dx L GI P EA
M ( x1 ) F x1 ;(0 x1 a) 2 M ( x2 ) F x2 ;(0 x2 a) 2
x1 a
a
a
x2
Vε
0
1 ( F x ) 2 dx a 1 ( F x ) 2 dx 2 2 1 0 2EI 2 2EI 2 1
a 0
W Vε
3 Fa fC 6 EI
M ( x) M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
和转角。 q
A
1
x l
B
A
l
x
B
解： （1)垂直位移 qx2 M ( x) 2
M ( x) x
M ( x) M ( x) dB dx L EI 1 l qx2 ql 4 ( )( x)dx EI 0 2 8 EI
2 FN l T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx L 2 EA L 2GI P 2 EI
[例13.1](P31)
图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点
受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
F ①求内力

R A
R
弯矩 : M ( ) F AC F R sin
M ( x) F
M ( x)
N(x)
T(x) T(x)
N(x)

A dx
2 FN ( x ) dx T 2 ( x ) dx M 2 ( x ) dx dVε 2 EA 2GI P 2 EI
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，
即
Vε W
利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和
内力的方法称为能量方法。
§13–2 杆件应变能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算： 已知:F、A、l、E
l
1 W Fl , 2
Fl l EA
Δl
F
F
2 F l 1 Vε W F l 2 2 EA
3
3
§13–4 互等定理
P1
A
P2
B
A
B
δ11
δ22
d 21
P1 A P2 B
d 12
d11 d12
d 22 d 21
P1 A
P2
B A
P1
P2 B
d11 d12
d 22 d 21
d 12 d 11 d 22
1 1 Vε 1 P 2 (d 22 d 21) 1 (d 11 d 12 ) P 2 2 1 1 Vε 2 P d P d P 1 d12 2 1 11 2 2 22 Vε 1 Vε 2
P1
δ
1
P2
δ
式中P可以是力偶，则 对应的δ 应为角位移
2
dn P n
应变能是否可以应用叠加法？ P1 A P2 B
P1 A δ11 B A δ22
P2
B
d 21
d 12
P1
A
P2
B
δ11
A
B
d 21
P1 A
d 12
P2
B
δ22
d11 d12
d 22 d 21
1 1 P2 (d 22 d 21) Vε 1 P 1 (d 11 d 12 ) 2 2 1 1 Vε 2 P d P d 2 1 11 2 2 22
3F 2 R 3 F 2 R 3 4GI P 4 EI
③外力功等于应变能
FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dxL dxL dx 2 EA 2GI P 2 EI
1 W F f A Vε 2
FR 3FR fA 2 EI 2GI P
Fl l EA l
即：Vε
2 FN l
2 EA
B
1
C
2
30°
A
Vε
n
2 FNi li
i 1 2 Ei Ai
F
1
4F a
2
F
a
2.扭转杆的变形能计算：

Me
W 1 M e 2
l
Tl Me l G Ip G Ip
2 2 T l M l 1 e W M e 2 2G Ip 2G Ip
2 1 qx2 x2 1 qx12 x1 (qax2 )( )dx2 (qax )( )dx1 1 EI 0 2 2a EI 0 2 2a a a
0
[例5] 用能量法求C点挠度和B点转角。梁的抗弯刚度EI。
A x1
C
P x2
1 B
A
B
x1
C
x2
a
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
(d 21) (d 12 )
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
§13–7 单位载荷法 q(x) A fA
莫尔积分 求任意点A的位移f A 。
图a A 图b
W Vε
L
P0 =1
M 2 ( x) dx 2 EI
M 2 ( x) dx 2 EI
在A点加单位力：
W Vε
第十三章
§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算
能量方法
§13–3 应变能的普遍表达式
§13–4 互等定理 §13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法
§13–1
应变能
概述
杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这 种能称为应变能（Strain Energy），用“V”表示。
M ( x1 ) RA x1
P x1 2 P M ( x2 ) RB x2 x2 2
M ( x1 ) RA x1 x1 2 x M ( x2 ) RB x2 2 2
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) d C 2 dx1 EI 0 2 P x1 x1 dx1 EI 0 2 2
a P x1 1 P x2 x d x x ( 1 2 1 2a 1 EI 2 2 2a )dx2 0 0

F
A
C B
扭矩 : T ( ) F BC FR(1 cos )
②变形能：
Vε
L
T 2 ( x) M 2 ( x) dx dx L 2GI P 2 EI
(dx Rd )
2 2 2 2 2 2 F R ( 1 cos ) F R (sin ) 0 Rd 0 Rd 2GI P 2 EI
③ C点的挠度
M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x2 ) dC dx1 dx2 EI EI 0 0
2 2 1 qx2 x2 1 qx1 x1 (qax2 ) dx 2 (qax ) dx1 1 EI 0 2 2 EI 0 2 2 a a
M ( x) M ( x) L EI dx
FNi FNi li M ( x) M ( x) T ( x )T ( x ) L dx dx L Ei Ai GI P EI
三、使用莫尔定理的注意事项：
① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M ( x) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。
P 1 d12 P 2 d 21
当 P1=P2 时
功的互等定理
d12 d 21
当 P1=P2 时
d12 d 21
P1 A δ11 B
位移互等定理
P2 A δ22
B
d 21
d 12
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
F
A
F
A
图1
图2
已知：图1中A点的水平位移为3mm， 求：图2中A点的铅垂直位移？