fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
27
例13-5 A截面的转角和梁的中点C的挠度。
T 2 x dx
M
2 x
dx
2EA
2GIP
2EI
积分求出整个杆件的应变能为
V
FN2
x
dx
l 2EA
T 2 xdx
l 2GIP
M 2x
dx l 2EI
14
§13-3 功的互等定理和位移互等定理
F1
F2
1
2
F1
1 11
12
21 F2
2
22
F1
1
12
22 F2
2
11 21
梁上作用两组力时，应变能与其作用 次序无关，只与最终状态有关。
贝依隆原理。
由于位移Δ1，Δ2 ，… Δi ，… Δn与外力F1，F2， … Fi， Fn之间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数， 所以应变能不能叠加。
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
V 1
1 2
F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
1
§13-1 杆件应变能的计算
在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性
体的应变能。即 W=V 一、拉压
F
A
F F
l
Δl
O ΔL
B ΔL
l FNl EA
V
W
1 2
Fl
FN2l 2EA
比能: u 1
2
2
§13-1 杆件应变能的计算
二、扭转
T
φ
T l
T A
T
B
O
φ
φ
Tl
GIP
V W
比能
1 T T 2l
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
P R
A
解：用能量法（外力功等于应变能）
①求内力
P A MN
A
BT
Q
弯矩 : M PR sin
扭矩 :T PR(1 cos)
8
②变形能：
U
N 2 (x) dx
M
2 n
(
x
)
dx
M 2(x) dx
先加F1力，再加F2力。
W
1 2
F111
1 2
F2 22
F112
先加F2力，再加F1力。
W
1 2
F2 22
1 2
F111
F2 21
F112 F2 21
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
力作用方向的位移。此即为卡氏定理。
19
二、定理证明
P1
1. 先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则：
P2
U U (P1,P2 ,..., Pn )
U
给Pn
以增量
dPn
，则：应变能增量：
Pn
dPn
结构的应变能：
U1
U
U Pn
dPn
n Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2
(dPn
)
(F1 F2 )2 l 2EA
注意：V V1 V 2
11
结论： 应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时
弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用 时弹性体的应变能。
应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而 与加载的次序无关。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
F1
F2l EA
（F1 F2）2l 2EA
F2
D：先加F2 ，再加F1
V
1 2
F2l2
1 2
F1l1
F2l1
(F1 F2 )2 l 2EA
V
1 2
F1
F2
(
F1
F2 EA
)l
解：解除尾顶针的工件可简化为悬臂梁。
F、FBy作为第一组力。然后右端单独作用 X=1的单位力，并作为第二组力。
在第二组力作用下
1
2
1
a2 6EI
3l
a
2
l3 3EI
第一组力在第二组力引起的位移上
X 1
第二组力在第一组力引起的位 移上所作的功为零（B为铰支）。
所作的功为
F1 FBy 2
Fa2 6EI
a C p
(a) 2x C p
A
(b3)4
例13-7 求B点的竖直和水平位移。
解:任意横截面mm上的弯矩 为
M PR cos A
R
M R cos
P
利用计算曲杆变形的卡氏定理表达式得:
(B )竖直
M M ds
s EI P
1
2
PR cos
R cos
Rd
PR3
EI 0
4EI
B
p
35
2.求B点的水平位移，在点B附加水平力Pf
B
V
M
2
x
dx
1
l 2EI
2EI
l Fx2 dx F 2l3
0
6EI
在变形过程中，外载荷所做的功为
W
1 2
FyA
由于应变能V等于外载荷所做的功W。即V =W
F 2l3 6EI
1 2
FyA
由该式得自由端的挠度
yA
F l3 3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
弹性体上作用载荷时，它的作 用点也因物体变形产生位移，载荷
在此位移上做功，其值等于弹性体
Δ1 Δ2 Δ3 Δ4
的应变能。所以可用载荷做功来求
应变能。
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
Fi i
1 2
Fn n
其中Δ1，Δ2 ，… Δi ，… Δn为F1，F2， … Fi，Fn共同 作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉
Me
p
A
Me C
Me
B
A
p
C
B
C
L/2
L/2
X1
L/2
X2
L/2
解：
AC段 ：
M
( x1 )
Me
(
P 2
Me l
) x1
M (x1) 1 x1
M e
l
M (x1) x1
P 2
28
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
BC段 ：
M
( x2
)
(
P 2
M l
e
) x2
M (x2 ) x2 Me l
M ( x2 ) x2
(d
n
)
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
U dPn n
20
按此加力顺序结构的应变能
P1 P2
n Pn
U2
1 2
(dPn ) (d n )
U
dPn n
又
U1 U2
U
n Pn
第二卡氏定理
卡氏定理：弹性体内的变形能对任一载荷的偏导 数等于该载荷作用点沿载荷作用方向的位移。