锐角三角函数的实际应用1. 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°，由光源O 射出的边缘光线OC 、OB 与水平面所形成的夹角∠OCA 、∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(结果精确到 1 cm ，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73)．第1题图解：∵tan∠OBC ＝tan30°＝33OC BC ,∴OC ＝33BC ， ∵sin∠OAC ＝sin75°＝OCOA≈0.97， ∴3340BC ≈0.97,∴BC ≈67(cm)．答：该台灯照亮水平面的宽度BC 约为67 cm.2. 某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图②所示，点O 是台历支架OA ，OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA ＝OB ＝14 cm ，CA ＝CB ＝4 cm ，∠ACB ＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6 cm.求点O 到直线AB 的距离．(结果保留根号)第2题图解：如解图，连接AB 、OC ，并延长OC 交AB 于点D ，第2题解图∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，∴OC 垂直平分AB ，即AD ＝BD ，∠CDA ＝90°， 又∠ACB ＝120°，∠ACD ＝60°， ∴在Rt△ACD 中，sin∠ACD ＝AD AC， ∴AD ＝AC ·sin60°＝4×32＝23cm ， ∵在Rt△AOD 中，AD ＝2 3 cm ，AO ＝14 cm ， ∴OD ＝AO 2－AD 2＝142－（23）2＝246 cm ， ∴点O 到直线AB 的距离为246 cm.3. 如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA ＝OD ＝81 cm ，OC ＝43 cm ，∠C ＝90°，∠A ＝20°.求BC 的长和点O 到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713)第3题图解：根据题意可知AC ＝OA ＋OC ＝81＋43＝124 (cm)， 在Rt△ABC 中，tan A ＝BCAC，∴BC ＝AC ·tan A ≈124×0.3640≈45(cm)， 如解图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，在Rt△AOE 中，sin A ＝OE OA，∴OE ＝OA ·sin A ≈81×0.3420≈28(cm)，第3题解图答：BC 的长和点O 到地面的距离分别约为45 cm 和28 cm.4. 为了给人们的出行带来方便，某市准备在部分城区实施公共自行车免费服务，如图①是公共自行车的实物图，如图②是公共自行车的车架示意图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，点F 在AM 上，FD ⊥AC 于点D ，AF ＝30 cm ，DF ＝24 cm ，CD ＝35 cm ，∠EAB ＝71°.若∠B ＝49°，求AB 的长．(结果保留整数，参考数据：sin71°≈0.9，cos71°≈0.3，tan71°≈2.9，sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2，3≈1.7)第4题图解：如解图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，第4题解图∵∠CAB ＝71°，∠B ＝49°， ∴∠ACB ＝60°，∵FD ⊥AC ，AF ＝30 cm ，DF ＝24 cm ， ∴AD ＝18 cm. 在Rt△AGC 中，sin∠ACG ＝AGAC ，cos∠ACG ＝CG AC，∴sin60°＝AG18＋35，∴AG ＝53×32＝5332cm. 在Rt△ABG 中，AB ＝AGsin49°≈53320.8≈56 cm，答：AB 的长约为56 cm.5. “高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A ，B 两点间的距离为90 cm.低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155 cm ，高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234 cm ，已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°，高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH 的长．(结果精确到 1 cm.参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850)第5题图解：在Rt△CAE 中，AE ＝CEtan∠CAE ＝155tan82.4°≈1557.500≈20.7，在Rt△DBF 中，BF ＝DFtan∠DBF ＝234tan80.3°≈2345.850＝40，∴EF ＝AE ＋AB ＋BF ≈20.7＋90＋40＝150.7≈151. ∵四边形CEFH 为矩形， ∴CH ＝EF ≈151.即高、低杠间的水平距离CH 的长约为151 cm.6. 图①是一商场的推拉门，已知门的宽度AD ＝2米，且两扇门的大小相同(即AB ＝CD )，将左边的门ABB 1A 1绕门轴AA 1向里面旋转37°，将右边的门CDD 1C 1绕门轴DD 1向外面旋转45°，其示意图如图②，求此时B 与C 之间的距离(结果保留一位小数)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，2≈1.4)第6题图解：如解图，连接BC ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，过点C 作CG ⊥BE ，交BE 的延长线于点G ，在Rt△ABE 中，∵AB ＝12AD ＝1米，∠A ＝37°，∴BE ＝AB ·sin37°≈0.6米，AE ＝AB ·cos37°≈0.8米，第6题解图在Rt△CDF 中，CD ＝12AD ＝1米，∠D ＝45°，∴CF ＝AB ·sin45°＝22≈0.7米，DF ＝CD ·cos45°≈0.7米， ∴EG ＝CF ≈0.7米，GC ＝EF ＝AD －AE －DF ≈2－0.8－0.7＝0.5米，∴BC ＝BG 2＋CG 2＝（0.6＋0.7）2＋0.52≈1.4米． 答：B 、C 之间的距离约为1.4米．7. 西成高铁自12月6日正式开通运营，标志着华北地区至西南地区又增加一条大能力、高密度的旅客运输主通道．如图，西成高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离AO ＝75 cm ，展开小桌板使桌面保持水平时，有CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC (结果精确到1 cm)．(参考数据sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)第7题图解：如解图，延长CB 交OA 于点E ，延长OB 交AC 于点F . 设BC ＝x ，则OB ＝OA －BC ＝75－x ，第7题解图∵∠AOB ＝∠ACB ，∠OBE ＝∠CBF ，∠AOB ＋∠OBE ＝90°， ∴∠ACB ＋∠CBF ＝90°，∴∠BFC ＝90°. 在Rt△BFC 中，∵sin37°＝BF BC， ∴BF ＝BC ·sin37°＝sin 37°·x ， 在Rt△OAF 中，cos37°＝OF AO， 即cos37°＝75－x ＋sin37°·x75，∴x ＝75（1－cos37°）1－sin37°≈75×（1－45）1－35＝37.5≈38(cm)，∴小桌板桌面的宽度BC 约为38 cm.8. 为促进农业发展，加快农村建设，某地政府计划扶持兴建一批新型钢管装配式大棚，如图①.线段AB ，BD 分别表示大棚的墙高和跨度，AC 表示保温板的长．已知墙高AB 为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC ＝150°，在点D 处测得A 点、C 点的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC 的长是多少米．(精确到0.1米)(参考数据：32≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28)图① 图②第8题图解：如解图，过点C 作CE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，第8题解图∵∠BAC ＝150°，∴在Rt△ACE 中，∠EAC ＝30°， 设EC ＝x ，则AE ＝3x ，AC ＝2x ， ∵EC ⊥AB ，BD ⊥AB ，CF ⊥BD ， ∴四边形ECFB 是矩形， ∴CF ＝AB ＋AE ＝2＋3x (米)， 在Rt△ABD 中，AB ＝2，∠ADB ＝9°， ∴BD ＝ABtan9°≈20.16＝252(米)， ∴DF ＝BD －CE ＝12.5－x (米)，在Rt△CDF 中，CF ＝2＋3x (米)，DF ＝12.5－x (米)，∴tan∠CDF ＝CF DF ＝2＋3x12.5－x≈0.28，解得x ＝0.75米， ∴AC ＝2x ＝1.5米．答：保温板AC 的长约为1.5米．9. 某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN 上，主杆AC 与地面垂直，调节支架使得脚架BE 与主杆AC 的夹角∠CBE ＝45°，这时支架CD 与主杆AC 的夹角∠BCD 恰好等于56°，若主杆最高点A 到调节旋钮B 的距离为40 cm ，支架CD 的长度为30 cm ，旋转钮D 是脚架BE 的中点，求支架最高点A 到地面的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，2≈1.41)第9题图解：如解图，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，延长AC 交MN 于点H ，则AH ⊥MN,第9题解图在Rt△DCG 中，根据sin∠GCD ＝DG DC，得DG ＝CD ·sin∠GCD ＝30×sin56°≈30×0.83＝24.9 (cm)， 在Rt△BDG 中，根据sin∠GBD ＝DG BD， 得BD ＝DGsin∠GBD＝24.922≈24.91.412≈35.3 (cm)． ∵D 为BE 的中点， ∴BE ＝2BD ＝70.6 cm ，在Rt△BHE 中，根据cos∠HBE ＝BH BE， 得BH ＝BE ·cos∠HBE ＝70.6×22≈70.6×1.412≈49.8 (cm)， ∴AH ＝AB ＋BH ＝40＋49.8＝89.8 (cm)． 答：支架最高点A 到地面的距离约为89.8 cm.10. 某款折叠床其配套的折叠床板的实物图如图①所示，图②为其抽象的几何图形．将床板折叠到如图②所示位置，点A 、B 、C 在同一条直线上，AG ＝BG ＝BD ＝CD ，CD ∥BG ，BD ∥AG ，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米，四边形CDEF 为矩形． (1)求床板完全展开后的总长度；(2)若∠DCB ＝80°时，该床板折叠后具有最好的稳定性，当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 在垂直方向上有何变化，请说明理由．(结果精确到0.01米，参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34, tan70°≈2.75，sin80°≈0.98, cos80°≈0.17, tan80°≈5.67)第10题图解：(1)如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由题意可知，△BCD 为等腰三角形，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米，第10题解图∴CH ＝BC2＝0.17米，DC ＝HCcos70°≈0.170.34＝0.50米，∴床板完全展开后的总长度约为0.50×4＝2.00米； (2)顶点D 会在垂直方向上升约0.02米．理由；当∠DCB ＝70°时，DH ＝0.5×sin70°≈0.47米， 当∠DCB ＝80°时，DH ＝0.5×sin80°≈0.49米， ∴0.49－0.47＝0.02米，∴当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 会在垂直方向上升约0.02米．。