数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第三章 热传导方程的分离变量法引 言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。

本章我们对抛物型方程−以热传导方程为代表进行研究。

复习：数理方程的导出步骤（−−−−→定量化物理模型数学模型） ⅰ 建坐标系 ⅱ 选物理量u ⅲ 找物理规律 ⅳ 写表达式本章，我们先对热传导进行推导。

3.1 热传导方程1. 物理模型截面积为A 均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。

2.相关概念和定律ⅰ相关概念①热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。

设热量：Q 面积：S 体积：V 时间：t 密度：ρ 温度：T ， ②比热：单位物质，温度升高一度所需热量QC VTρ=③热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律）Q u q tS nκ∂==-∂，κ：导热率 ④热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）Qf tV= ⅱ用到的物理学规律① Fourier 实验定律(热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。

热流强度（热流密度）q 与温度的下降成正比。

即q u κ→=-∇。

κ：热导系数（热导率），不同物质ℜ不同，(),x u κκ=。

对均匀杆κ是常 数。

负号表示温度下降的方向。

分量形式：x u q x κ∂=-∂ ，y u q y κ∂=-∂，z uq zκ∂=-∂一维问题：uq nκ∂=-∂ ②热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加 所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所 产生的热量（质量）之和。

3分析研究的问题: 热流流动是由温差造成,设u 为温度. 已知：C ，ρ，κ常数(),u u x t =是一维问题4研究建立方程取x 轴与细杆重合，(),u x t 表示在x 点t 时刻的温度。

考虑任一x ∆段在t ∆时间热量情况 ①流入x 面：1xuQ A t x κ∂=-⋅∆∂ ②流出x x +∆面：2x xu Q A t xκ+∆∂=-⋅∆∂③热源产生：设有热源其密度为(),f x t ，杆内热源在x ∆段产生的热量为 ④x ∆段温度要升高u ∆所吸收的热量Q ⑤ 根据能量守恒定律流入x ∆段总热量与x ∆段中热源产生的热量即 ()(),,C A x u x t t u x t ρ⋅∆+∆-⎡⎤⎣⎦()(),,x x u x x t u x t A t fA x t κ=+∆-∆+∆∆⎡⎤⎣⎦ 两边同除以1A x t∆∆当0x ∆→，0t ∆→时，t xx C u u f ρκ⋅⋅=⋅+t xx u Du f =+， 其中D C κρ=，F f C ρ= 同理 ，二维热传导方程为 三维热传导方程为或 t u D u f -∆= 或 2t u a u f -∆= ⒈初始条件 ()(),0u x x ϕ= ⒉ 边界条件提法有三种ⅰ第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点 的温度）。

()()10,u t t μ= ，()()2,u l t t μ= ()()10,x u x t t μ==，()()2,x l u x t t μ==ⅱ第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数 值。

()10x u v t x=∂=∂ ，()2x lu v t x=∂=∂或()()10,x x u x t v t == ， ()10xx u v t ==已知通过细杆端点的热量，特殊情形()0v t = 如 (),0x u l t = 绝热条件。

物理意义：把细杆端点x l =处的截面用一种定点绝热的物质包裹起来，使得在端点x l =处，既无热量流出去，又无热量流进来。

ⅲ 第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。

已知杆端x l =与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实 验定律进行热交换，相应的边界条件为()()(),,x u l t u l t t κθ+=，κ：热导系数 ，：热交换系数介质通过边界按 冷却定律散热：单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质表面温度u 边界和外界温度u 之差成正 比。

设比例系数为a ，则()ua u u n κ∂-=-∂边界边界如在x l =处，()()(),,x u l t u l t t κθ-+=3 .2 混合问题的分离变量解有界杆的热传导现象 其中()x ϕ 为已知函数。

分析： 求解： 第一步：分离变量ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解（特解）()()(),u x t X x T t =ⅱ.将其代入泛定方程有'''21T X a T Xλ==-，其中λ是常数。

于是有 ''0X x λ+=，'20T a T λ+=ⅲ 由边界条件有当()0,0u t =，则()00X =， 当(),0u l t =，则()0X l =即本征值问题第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当0λ>时，证本征值问题有非零解。

ⅰ.()X x A B =+ ⅱ. 由()()00000X B A X l =⎫⎪⇒= , =⎬=⎪⎭∴222n lπλ= ，1,2,3,n =⋅⋅⋅即特征值是2n n l πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2,3,n =⋅⋅⋅ⅲ .本征函数是()sinn n X x x lπ= 第三步：求特解，并叠加出一般解又由'20T a T λ+=，2n n l πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得 2'0n a T T l π⎛⎫+= ⎪⎝⎭两边积分其中n C 是积分常数。

于是()()()2,sinn a t l n n n n n u x t X x T t C ex lππ⎛⎫- ⎪⎝⎭== ，1,2,3,n =⋅⋅⋅ 故一般解 ()21,sinn a t l n n n u x t C ex lππ⎛⎫∞- ⎪⎝⎭==∑ 第四步：确定叠加系数由初始条件()(),u x t x ϕ=，有 ()1sinn n n C x x lπϕ∞==∑ 两端同乘以sin m x lπ，逐次积分有 于是()21,sinn a t l n n n u x t C exdx lππ⎛⎫∞- ⎪⎝⎭==∑，1,2,3,n =⋅⋅⋅ 分析解答由初始温度()x ϕ引起的温度分布(),u x t 可看作是由各个瞬间热源引起的温 度分布的叠加。

3.3 初值问题的付氏解法引言：上节求解混合问题时，空间坐标x 变动区间为[]0,l 。

如考虑无界杆的热传导，如何？将(),f x t 等在[],l l -上展成Fourier 级数，再让区间[],l l -无限扩大。

结果：在一定条件下，Fourier 级数变成一个积分形式，称为Fourier 积分。

3.3.1 Fourier 积分设()f x 定义在(),-∞∞内，且在任一有限区间[],l l -上分段光滑，则()f x 可 展开成Fourier 级数 其中 ()1cos l n l n a f d l lπξξξ-=⎰， ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰，0,1,2,n =⋅⋅⋅则现设()f x 在(),-∞∞上这时可积，即()f x dx -∞∞=⎰有限值，则当l =∞时，证1lπλ=，22l πλ=，⋅⋅⋅，n n l πλ=，⋅⋅⋅1n n n l πλλλ+∆=-=，则 上式写成()()01cos d f x d λξλξξπ∞∞-∞=-⎰⎰，()cos x λξ-它是关于λ的偶函数。

∴ ()()()1cos 2f x d f x d λξλξξπ∞∞-∞-∞=-⎰⎰称为()f x 的Fourier 积分可以证明：()f x 及()'f x 的连续点处，()f x 的付氏积分收敛于它在 的函数值。

Fourier 积分还可写为 其中 ()()1cos 2A f d λξλξξπ∞-∞=⎰，()()1sin 2B f d λξλξξπ∞-∞=⎰。

定解问题其中()x ϕ为已知函数。

分析：已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布。

分离变量法求解：令()()(),u x t T t X x =，则有'''0T aT X X λλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，λ为常数。

有()2a t T t e λ-=ⅰ 0λ<时，()T t 将随t 的增加而增加，所以不合理。

ⅱ 0λ≤，证2u λ=，则 '0T aT λ+='20T u aT ⇒+=① 当0u =()0λ=时，T T =，12X X C C x ==+T ，1C ，2C 为积分常数，2C 必须0=因为x →∞，()X x 会无界，所以1X C =② 当0u ≠时，22u a t T e -=，cos sin x A ux B ux =+，A ，B 与x ，t 无关，而恒等于u 。

0λ≤，u 取所有实数，解的叠加只能积分。

而 ()()[],0cos sin u x x A ux B ux du ϕ∞-∞==+⎰由Fourier 积分有 而2240cos b ax ae bxdx -∞-=⎰分析解答解的物理意义：由初始温度()ϕξ引起的温度分布(),u x t 可看作由各个瞬 间点热源引起的温度分布的叠加。

说明： ①取()224x a tv ξ--=在单位横截面积细杆上取x 点附近的一个小单元(),x x δδ-+，设在 任意区间外，函数()0x ϕ=，在由()x U ϕ=（常数）物理上：在初始时刻， 这个表示吸取了热量2Q C U ρδ=⋅⋅,使这一段温度为U ，此后温度在细杆上的分布由()()()224,x a tu x t ed ξϕξξ--∞-∞=给出。

②()224x x a tx U e d ξδδξ--+-()224x x a tx e d ξδδξ--+-=0δ→，将分布在整个一小段上的热量Q 看作在极限情形只作用在x 点，则在x x =有瞬时点热源，强度为Q ，这样的热源，在细杆上得到的温度分布为：由积分中值定理()()22224412x x x a ta tx ed eξξδδξδ----+-=⎰其中x x ξ-∂<<+∂，0δ→时，0ξ→，则故v 所代表的温度分布是当初始时刻0t =时，细杆在x ξ=处受到强度为Q C ρ=的瞬时点热源的作用而产生的。

对原问题的解：① 为在初始时刻要使细杆在x ξ=处只有温度()ϕξ，则在此近邻一小单位d ξ上需吸收的热量()()dQ d C C d ρξϕξρϕξξ==，或在x ξ=点有温度为dQ 的瞬时点热源，所产生的温度分布为()()224x a td ξϕξξ--，在细杆的所有点上，初始温度()ϕξ的总作用，就是由这些个别单位的作用由初始温度()ϕξ引起的的温度分布(),u x t 可看作由各个瞬时点热源所 引起的温度分布的。