齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析李杰张磊赵旗（吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室，长春130025）Comparing and analysis on gear contact stress calculation to different finite element modalsLI Jie ，ZHANG Lei ，ZHAO Qi（Jilin University State Key Laboratory of Automobile Dynamic Simulation ，Changchun 130025，China ）文章编号：1001-3997（2009）07-0001-03【摘要】为精确计算齿轮齿面接触应力，选择与齿轮实际运转情况最为接近的有限元模型，从赫兹有限元模型的分析入手，研究齿轮接触问题的赫兹有限元解法，然后再将问题扩展到齿轮模型，最后通过对比不同有限元模型之间的差异发现，三维多齿有限元接触模型同齿轮实际运转情况最为接近，且利用该模型不但能使计算更加精确，而且更容易实现变速器齿轮乃至整车的轻量化设计。
关键词：接触应力；赫兹；齿轮；有限元【Abstract 】In order to compute the gear contact stress accurately ，chose the finite element modal that was near to the gear actual operation.It commenced from the analysis of the Hertz model firstly ，and stud －ied the solution for the gear contact problem used the Hertz finite element modal ，then expanded the prob －lem to the gear model ，finally found the difference through comparing with the different element modals ，the 3D multi-gear contact model was near to the actual gear operation mostly ，and made use of this model not only could make the computation more accurately ，but also carried out the transmission gear and the whole car reduced in weight design more easily.Key words ：Contact stress ；Hertz ；Gear ；Finite element＊来稿日期：2008-09-06中图分类号：TH16，U463.212文献标识码：A1不同齿轮接触有有限元模型的建立1.1赫兹有限元模型的建立根据赫兹原理建立接触有限元模型[2]，如图1所示。
两个圆柱体的半径分别为ρ2和ρ2，无摩擦接触，在法向力F b 的作用下，齿面产生接触应力。
对于赫兹有限元模型，虽然不用像传统模型那样计算各项齿轮应力修正系数，但对法向力F b 与啮合曲率半径ρ2、ρ2的计算却还是必要的。
图1赫兹1/4圆柱体模型Fig.1Hz 1/4cylinder model1.1.1法向力的计算轮齿在节点处啮合时对应法向力F b 直齿轮：F bt =F t /cos αt（1）斜齿轮：F bn =F t /（cos αt cos βb ）（2）式中：F t —主动齿轮分度圆名义切向力。
F t =2000Td（3）式中：T —齿轮输入转矩；d —齿轮分度圆直径；αt —端面分度圆压力角；βb —基圆螺旋角。
1.1.2曲率半径的确定直齿圆柱齿轮在节点C 啮合时，其曲率半径为：ρ1＝d ′1sin α′t ，ρ2＝d ′2sin α′t（4）式中：d ′1—齿轮节圆直径；α′2—端面啮合角。
对应斜齿轮在节点C 啮合时，其曲率半径为：ρn 1＝ρ1cos βb ，ρn 2＝ρ2cos βb （5）式中：ρn 1、ρn 2—大、小齿轮对应法面节点的曲率半径。
根据上述确定的法向力与曲率半径关系，对应生成1/4圆柱体的二维与三维赫兹接触有限元模型，如图2所示。
（a ）二维赫兹模型（b ）三维赫兹模型图21/4圆柱体赫兹接触有限元模型Fig.21/4cylindrical finite element model of Hertz contact1.2齿轮接触有限元模型的建立齿轮接触有限元模型相对于赫兹模型最大的区别在于，它不GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERSXZY GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERS XZY 设计与计算＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊E 1v 1ρ1Y DFEdC b BAXρ2E 2v 21115141135124,122343Machinery Design ＆Manufacture机械设计与制造第7期2009年7月1但要反映啮合齿轮相互接触的状态，更要对齿轮齿形即齿轮渐开线和过渡曲线进行精确的参数化建模。
1.2.1齿轮渐开线建模构造极坐标方程是齿轮渐开线建模中最常用的方法：r k =r b cos αk（6）θk =tan αk -αk （7）式中：r b —基圆半径；αk —渐开线压力角；θk —渐开线展角。
但由于该渐开线方程都是在局部坐标系下建立的，很难确定两齿轮的啮合位置关系，因此必须统一坐标系，即以齿轮中心为原点，轮齿对称线为中心轴建立新的整体坐标系，如图3所示。
图3齿轮渐开线整体坐标模型Fig.3Gear involute coordinates the overall model在图3中，齿廓右侧渐开线起点对应极角为，由几何关系可得准br =π-β（8）式中：β—基圆齿厚对应圆心角，它等于节圆张开的圆心角βr 与两侧渐开线展角θ1和θ2之和。
对于变位齿轮，节圆张开的圆心角：βr =m r （π2+2x tan α）＝1z（π+4x tan α）（9）而由式（7）可得，渐开线展角：θ1＝θ2＝tan α-α（10）由此构造的整体极坐标系下的渐开线方程为：r kr =r bcos αkr 准kr ＝准br +tan αkr -αkr!（11）在确定渐开线各点对应极坐标后，根据极坐标与直角坐标转换关系，可得：x i =r i cos 准iy i=r isin 准i!（12）式中：准i 、r i —点的极坐标；x i 、y i —点的直角坐标。
1.2.2齿轮过渡曲线建模根据GB1356-2001中规定的齿轮齿条基本齿廓，当加工刀具取标准顶隙c P =0.25m 时，刀顶圆角半径为ρa 0=0.38m ，如图4所示。
对应的刀具参数关系如下：a=h op +c p -ρa 0（13）b=πm +h op tan α+ρa 0cos α（14）式中：a —刀顶圆角圆心C ρ距中线的距离；b —刀顶圆角圆心C ρ距刀具齿槽中心线的距离。
图4标准齿条型刀具对应齿廓Fig.4Corresponds to the standard rack tooth profile-type tool齿条型刀具对应的刀具圆角与齿根过渡曲线关系，如图5所示。
图5齿条型刀具加工齿轮的齿廓Fig.5Rack-type tool processing gear tooth profile其中齿根过渡曲线对应的直角坐标方程为：X ＝r ′sin φ-（a 1sin α′+ρa 0）cos （α′-φ）（15）Y ＝r ′cos φ-（a 1sin α′+ρa 0）sin （α′-φ）（16）φ=1r ′（a 1tan α′+b ）（17）a 1=a-xm（18）式中：r ′—齿轮节圆半径；x —齿轮变位系数。
对于标准重合度直齿轮，单齿模型可以准确的反映齿轮啮合接触状态，但对于斜齿轮，由于存在端面重合度εd 和轴向重合度εβ的共同作用，因此其实际齿轮载荷往往是由多对轮齿共同承担的，此时需要建立多齿有限元接触模型，如图6所示。
（a ）二维齿轮模型（b ）三维齿轮模型图6齿轮接触有限元模型Fig.6Finite element model of gear contact1.3齿轮接触分析有限元边界条件无论是赫兹建模还是齿轮渐开线与过渡曲线建模，都只是进行齿轮接触有限元分析的基础，要进行接下来有限元计算还需要θ2θ1βrY齿轮渐开线齿轮过渡曲线A B C r ar ′r f r bβ准brOXρa 0h ap c pC pbaα中线Yx mρa 0r ′φa 1α′n Pl l cpnργ=α′-φr ′φO X刀具加工节圆中线刀具加工节线b a第7期李杰等：齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析2确定齿轮接触面单元类型、约束条件和施加的齿轮载荷。
1.3.1接触面单元类型齿轮相接触属于面-面接触，需要用面-面接触对单元，面-面接触对单元是由目标面和接触面形成的接触对。
ANSYS 分别用TARGE169和TARGE170单元模拟2D 和3D 目标面，用CONTA171、CONTA172和CONTA173、CONTA174单元模拟2D 和3D 接触面。
论文针对齿轮的接触问题，采用TARGE169和CONTA172单元模拟2D 目标面和接触面；用TARGE170和CONTA174单元模拟3D 目标面和接触面。
1.3.2约束条件与齿轮载荷对于赫兹有限元模型，需将底边和中间轴边线进行全约束，再将法向力F b 施加于模型顶端节点。
而对于齿轮有限元模型，为模拟被动齿轮阻力矩，需将被动齿轮齿圈和轮齿两边界节点进行全约束，而只限制主动齿轮两边界的径向与轴向自由度，再将主动齿轮的转矩其转化为齿圈节点上的平均切向力：F y =T k （19）式中：F y —主动齿轮齿圈节点上的平均切向力；r k —齿轮齿圈半径；N —齿轮齿圈节点总数。
2不同接触有限元模型的比较分析通过对不同齿轮接触有限元模型的分析发现，齿轮建模从赫兹模型到多齿模型，从二维平面问题到三维空间问题，一对齿轮参数却可以对应生成上述四种不同的齿轮接触有限元模型，然而究竟哪种模型与实际更为接近，哪种模型更能反映齿轮的实际运转条件，为研究解决这一问题，以齿轮传统齿面接触应力计算作为标准，以某轻型货车变速器五挡齿轮作为研究对象，分析不同模型对齿面接触应力计算结果产生的影响，其中齿轮基本参数，如表1所示。